文档介绍：立体几何
空间的角
思想方法:
传统法:利用转化的思想,将异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角,转化为平面角,然后解三角形。
向量法:利用两个向量的夹角公式,可以求解有关角的问题。
题型Ⅰ求两异面直线所成的角
转化时多用平移(或补形),异面直线所成角的平面角的平面顶点O的选取一般选在两异面直线的端点处或中点及分点处。
两异面直线所成角的范围(0O,90O],两向量的夹角的范围[0O,180O]。注意角度的范围!
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC
所成二面角的大小。
例1.(05,全国,18)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点。
E
F
G
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC
所成二面角的大小。
例1.(05,全国,18)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点。
E
例2、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;
(III)求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
E
例3、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB= ,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
O
题型Ⅱ求直线与平面所成的角
法一(定义法)找垂线——找射影
法二:向量法——注意角度之间的联系与区别
关键是作出斜线在平面内的射影,即关键是判断射影在平面内的位置。
注:用向量方法求夹角时,忽略异面直线所成角和线面角的范围与向量夹角范围的区别常导致错误!
例1(05,浙江)、如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)当k= 时,求直线PA与平面PBC所成角的大小
(Ⅱ) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
例2、三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC
垂直,PA=PB=PC=3,
(1)求证:AB ⊥ BC;
(2)设AB=BC= ,求AC与平面PBC所成
角的大小. (2004年全国文科试题)