文档介绍：计 算 方 法
光信息
精选课件
插值方法
插值多项式定义
插值多项式的存在唯一性
插值余项
基函数构造拉氏插值多项式
计算机实现
分段线性插值
其它插值方法介绍
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引例及问题综述
引例1 血药浓度问题x
C
x
l
0
0
)
(
)
)...(
)...(
(
)
(
-
=
=
j i
j
i
i
i
i
x
x
C
x
l
)
(
1
1
)
(
Lagrange Polynomial
与 有关，而与 无关
节点
f
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插值余项
作为 的近似一定存在误差，用 来表示它的截断误差， 也称之为余项。下面，我们导出其具体表达形式。
【定理2】设 在[a,b]上连续， 在(a,b)内存在，节点 ， 是满足插值条件()的插值多项式，则对任何 ，插值余项
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注： 通常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b)
将 作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
y
0
-
-
-
1
-
1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1
-
1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1
-
1
2
3
4
5
6
x
A
B
C
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例：已知
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50
并估计误差。
解：
n = 1
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
这里
而
sin 50 = …
)
18
5
(
50
sin
1
0
p
L
外推 /* extrapolation */ 的实际误差
利用
sin 50 ,
内插 /* interpolation */ 的实际误差
内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。
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n = 2
)
18
5
(
50
sin
2
0
p
L
sin 50 = …
2次插值的实际误差
高次插值通常优于低次插值
但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……
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计算机实现
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Hermite插值简介
前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取
相同值,
Lagrange型插值条件
然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步
有共同切线——插值条件为:求一次数
求一次数
的多项式 ，使之满足给定的Hermite型插值条件：
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Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
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定义：
f(x) 在区间[ a, b] 上 n+1个互异节点a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足
f(xi) = yi
f’(xi)=y ' i i=0,1,2……n
求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件
H(xi) = yi
H '(xi)= y ' i i=0,1,2……n
若H(x)存在,则叫函数f(