文档介绍：第四章稳定性与李雅普诺夫方法
2017年12月2日

李雅普诺夫关于稳定性的定义
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
稳定性的几个问题
什么是系统的稳定性?
为什么要研究稳定性?
经典控制理论中稳定性的判别方法?
对于状态空间表达式如何判断稳定性?
李雅普诺夫关于稳定性的定义
系统的平衡状态
所研究系统的齐次状态方程为
x为n维状态矢量;f为与x同维的矢量函数,并且是x与时间t的函数,一般为时变的非线性函数,如果不显函t,则为定常非线性系统。
若存在状态矢量xe,对所有时间t都能使f (xe,t) ≡ 0 ,称xe为系统的平衡状态。
线性定常系统的平衡状态
平衡状态需要满足Axe ≡ 0
当A为非奇异矩阵时,系统存在唯一的平衡状态xe=0;
当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。
非线性系统的平衡状态
可以有一个或者多个
平衡状态
稳定性的基本概念
经典理论中的稳定性
李雅普诺夫的稳定性
系统形式
定义
如果系统在扰动作用下偏离的原来的平衡状态,在扰动消失后,系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态,则系统是稳定的,否则不稳定。
如果系统从平衡状态临近的任一点出发的轨线总保持在该平衡状态的临近,则称平衡状态是稳定的,否则不稳定。
判别方法
代数判据、奈氏判据、对数判据、
特征根判据
李雅普诺夫第一法(间接法)
第二法(直接法)
适用范围
线性定常系统
多变量、非线性、时变
稳定性是系统本身固有的,与输入无关。
稳定性的几个定义
李雅普诺夫意义下的稳定
渐进稳定
大范围渐进稳定
不稳定
李雅普诺夫意义下的稳定性
说明:
S(ε) --定义一个以平衡状态为中心半径为ε的邻域,系统的运动状态保持在该邻域内;
S(δ) --定义一个以平衡状态为中心半径为δ的邻域,为了满足系统的运动状态保持在S(ε) 内,系统的初始状态应该在S(δ) 内。
渐进稳定
大范围渐进稳定