文档介绍：复习
一、定积分的分部积分法
定理.
则
P285.
3(2)
P285.
2(6)
复习
第一步选取积分变量 x,确定x的变化区间[a, b];
微分表达式
第二步在区间[a, b]上,任取小区间[x, x+dx],求出
元素法(或微元分析法)的步骤:
元素的几何形状常取为:
条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
整体量U在此小区间上的近似值
第二节
第三步积分微元得整体量
1、平面图形的面积
直角坐标情形:
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
2、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续,
第三节
一、变力沿直线所作的功
二、液体的侧压力
三、引力问题(略)
定积分在物理学上的应用
第六章
一、变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x  a 移动到
力的方向与运动方向平行,
求变力所做的功.
在其上所作的功元
素为
因此变力F(x) 在区间
上所作的功为
例1.
体,
求移动过程中气体压力所
解:
由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从
点 a 处移动到点 b 处(如图),
作的功.
建立坐标系如图.
由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比, 即
功元素为
故作用在活塞上的
所求功为
力为
在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例2.
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?
解: 建立坐标系如图.
在任一小区间
上的一薄层水的重力为
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
故所求功为
( KJ )
设水的密度为
(KN)
一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,