文档介绍：《直线和圆综合》基础班
,得,化简得,∴点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,∴所求面积为,故选(B).
设,∵是的平分线,∴,
即分有向线段的比为,
故有,,从而,,
又点在圆上,故有,即,
∵点在轴上时不符合题意,
可得点的轨迹方程是.
将直线的方程变形为,
联立,得,故直线过定点.
而,
∴点在圆内,故直线必与圆相交.
又圆心和定点的连线的斜率,连线段的长为,
∴当时,其弦长最短,由得,,
故当时,弦长最短,最短弦长为.
设.∵,∴,
∴,∴.∵点在圆上运动,∴,∴,即,∴点的轨迹方程是.
⑴由题意得:、
∵,
∴() ∴,
,,
∵
∴∥即:∥
本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法.
⑵∵,
∴,∴,∴,
∴为或,得或,
∴的方程为:,
设弦的中点为,如图,则,
∴,∴.
在中,,
,
整理得,即为点的轨迹方程.
易知此轨迹图象在圆的内部,故即为所求的轨迹.
《直线和圆综合》提高班
,得,化简得,∴点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,∴所求面积为,故选(B).
设,∵是的平分线,∴,
即分有向线段的比为,
故有,,从而,,
又点在圆上,故有,即,
∵点在轴上时不符合题意,
可得点的轨迹方程是.
将直线的方程变形为,
联立,得,故直线过定点.
而,
∴点在圆内,故直线必与圆相交.
又圆心和定点的连线的斜率,连线段的长为,
∴当时,其弦长最短,由得,,
故当时,弦长最短,最短弦长为.
⑴由题意得:、
∵,∴() ∴,
,,
∵
∴∥即:∥
⑵∵,
∴,∴,∴,
∴为或,得或,
∴的方程为:,
⑴由,
从而得∴,
⑵∵,∴,∴,
即为的中点, ∴.
⑶由已知得方程为()
①当时,由且,此时点与原点重合,设,
则,有代入()得.
②当,由,且,设则,进而得
③当,由,且,
设,则,点坐标为代入()得.
综上所述,轴上有三个点,和满足使为等腰直角三角形.
如图建立平面直角坐标系,由题意可设、两人速度分别为千米/小时,千米/小时,再设出发小时,在点改变方向,又经过小时,在点处与相遇.
则、两点坐标为,.
由知,,
即.
∵, ∴①
将①代入得,
又已知与圆相切,直线在轴上的截距就是两个相遇的位置.
设直线与圆相切,
则有,∴.
答:、相遇点在离村中心正北千米处.
《直线和圆综合》精英班
设,∵是的平分线,∴,
即分有向线段的比为,
故有,,从而,,
又点在圆上,故有,即,
∵点在轴上时不符合题意,
可得点的轨迹方程是.
将直线的方程变形为,
联立,得,故直线过定点.
而,
∴点在圆内,故直线必与圆相交.
又圆心和定点的连线的斜率,连线段的长为,
∴当时,其弦长最短,由得,,
故当时,弦长最短,最短弦长为.
设.∵,∴,
∴,∴.∵点在圆上运动,∴,∴,即,∴点的轨迹方程是,
⑴由,
从而得∴,
⑵∵,∴,∴,
即为的中点, ∴.
⑶由已知得方程为()
①当时,由且,此时点与原点重合,设,
则,有代入()得.
②当,由,且,设则,进而得
③当,由,且,
设,则,点坐标为代入()得.
综上所述,轴上有三个点,和满足使为等腰