【精品】PPT课件 三、二重积分的换元法.ppt

文档介绍：*三、二重积分的换元法
第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算法
第十章
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X - 型区域
则
若D为Y - 型区域
则
一、利用直角坐标计算二重积分
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
由于
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域,
则
例1. 计算
其中D 是直线 y=1, x=2, 及
y=x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X - 型区域, 则
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例3. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X - 型域:
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例4. 交换下列积分顺序
解: 积分域由两部分组成:
视为Y - 型区域, 则
例5. 计算
其中D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
二、利用极坐标计算二重积分
对应有
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线=常数, 分划区域D 为