样本协方差矩阵.pdf

文档介绍：由三个总体 X、Y、Z 构成 3 维随机变量（X，Y，Z）。 该 3 维随机变量的协方差矩阵为
Cov( X , X ) Cov ( X , Y ) Cov ( X , Z )

Cov( Y , X ) C由三个总体 X、Y、Z 构成 3 维随机变量（X，Y，Z）。 该 3 维随机变量的协方差矩阵为
Cov( X , X ) Cov ( X , Y ) Cov ( X , Z )

Cov( Y , X ) Cov ( Y , Y ) Cov ( Y , Z )

Cov( Z , X ) Cov ( Z , Y ) Cov ( Z , Z )
有
（X1，Y1，Z1）
（X2，Y2，Z2）
（X3，Y3，Z3）
（X4，Y4，Z4）
（X5，Y5，Z5）
其中
X1、X2、X3、X4、X5 为总体 X 的一个样本，Y1、Y2、Y3、Y4、Y5 为总体 Y 的一个样本，Z1、
Z2、Z3、Z4、Z5 为总体 Z 的一个样本。
1 5 1 5 1 5
样本平均值 X  Xi 、Y  Yi 、 Z  Zi 分别是总体期望 E(X)、E(Y)、E(Z)的无
5 i1 5 i1 5 i1
1 5 1 5
偏估计量，样本方差 22、 22、
S1 () Xi X S2 () Yi Y
51 i1 51 i1
1 5
22分别是总体方差 、 、 的无偏估计量。
S3 () Zi Z D(X) D(Y) D(Z)
51 i1

问题 1：
由两个总体 X、Y 构成的 2 维随机变量（X，Y）的协方差 Cov（X，Y）的无偏估计量是什么？
答：
1 n
，其中 、 为样本均值。证明略（只要证明样本协方差的数学
(Xii X )( Y Y ) X Y
n 1 i1
期望等于总体协方差）。

定义：
1 n
样本协方差
(Xii X )( Y Y )
n 1 i1
另定义：
n
(Xii X )( Y Y )
样本相关系数 i1 （数学大辞典（第四卷））