协方差与协方差矩阵.doc

文档介绍：协方差与协方差矩阵
协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性,随机变量ξ的离差与随机变量η的离差的乘积的数学期望叫做随机变量ξ与η的协方差(也叫相关矩),记作Kξη: Kξη=E[(ξ-Eξ)(η-Eη)]=E(ξη)-EξEη,记为cov(ξ,η)
对于离散随机变量,我们有Kξη=
对于连续随机变量,我们有Kξη=∑∑(x-Eξ)(y-Eη)p(x,y); iiiiij??-∞+∞+∞-∞(x-Eξ)(y-Eη)?(x,y)dxdy,随机变量的协方
差用来描述随机变量之间的相关性,我们指出,独立随机变量的协方差等于零,即如果ξ与η独立,则Kξη=0. 如果ξ与η相同,则协方差就是变量ξ的方差。在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵,这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。协方差矩阵对于多元随机变量,一般是对于一个多维随机变量来讲的,表现的是随机变量X各个元素分量(为1维随机变量)之间的相互关系,每一项都对应着其中两个变量的协方差,组合起来就是协方差矩阵了,比如一个n维的随机变量X,其协方差矩阵之第ij个元素即为E[(Xi-E(Xi))*(Xj-E(Xj))],Xi和Xj分别表示X的第i个和第j个元素分量。
2比如:随机变量x和y,Qn为它们的协方差矩阵,σij为随机变量i和j的协方差,
un=(xn,yn)T,n=1,...,N ,其中, xn=dncosθn,yn=dnsinθn,N为扫描数据点个数。现实中,由于测量值(dn,θn)受噪声干扰,假设它们分别服从
高斯白
2噪声分布且互相独立,方差分别为σd和σθ2,则:
2?σxQn=?2??σxy2??uσxy?un2?unT2?unTn=()σ()+()σ()?2dnddnθnθθn σy??2?2cos2θnsin2θn?(dn)2σθ2σd=??+22?sin2θn2sinθn?2?2sin2θn??-sin2θn-sin2θn?? 22cosθn?
补充知识:
数学期望:随机变量ξ