文档介绍：实验数据处理方法 第三部分：统计学方法
第十二章 最大似然法
(Maximum Likelihood method)
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第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood Method)
点估计的方法之一，hood Function）
总事例数n也是随机变量，服从平均值为υ的泊松分布：
广义似然函数，
优点：n对θ增加了附加的限制
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用ML方法进行参数估计的步骤
2. 数据分类情况下的似然函数
对实验数据进行分间隔处理，（如作成直方图）然后用ML方法对分类
后的数据进行处理。
优点：减小了数据量，使得对
的计算速度加快
缺点：由于将原
简化为少量的几个“平均”pdf的乘积，使得
参数估计的精度下降。
设将x的变化范围分成了N个间隔
：第i个间隔内的事例数
：某事例落入第i个间隔的概率
N个事例分布于N个间隔内，每个间隔内的事例数为n1、n2、…nN
的概率满足多项式分布：
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用ML方法进行参数估计的步骤
：间隔的宽度
取对数并只保留与θ有关的项
分间隔的似然函数（Binned Likelihood Function）
(1) N很大，
很小，
(2) 如果在某一间隔内的变化不是很大，则用
得到的θ的精度是可接受的
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用ML方法进行参数估计的步骤
例：估计粒子的平均寿命
（三）求似然函数的极大值
1. 求解似然方程：
一般情况下无解析解，只能用数值解法。
2. 用CERN程序MINUIT求解函数
的极小值，得
θ的估计式 及其误差
探测K0粒子的产生和衰变。假定探测器无限大，则K0粒子在
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用ML方法进行参数估计的步骤
τ：粒子的平均寿命，为未知参数。K0的飞行时间ti
L：飞行距离，p：动量，E：能量，c：光速
对于n个观测事例：
当
时，LF取极大值。
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第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
ML估计式的特性
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1. 参数变换不变性
ML估计式的特性
设
是参数的ML估计值，
是θ的函数。如果用
作为
参量来求LF的极大值，则所得θ的估计值亦为
如果
，则有
2. 一致性（consistency）
在一般条件下，ML估计值满足一致性条件，即
，当
时。
3. 无偏性（unbiassedness）
在某些特殊情况下，ML估计式是无偏的，即
在一般条件下，ML估计式不满足无偏性：
故当样本容量
时，ML估计式总是无偏的。
,但其偏差
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ML估计式的特性
如果θ的充分估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。
4. 充分性（sufficiency）
充分必要条件
即θ只依赖于t
5. 有效性（Efficiency）
如果θ的有效估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。
充分必要条件
6. 渐近正态性（Asympototic normality）
在样本容量很大时，θ的ML估计值满足渐近正态分布，其平均值
为θ的真值θ0，方差为最小方差限（MVB）。
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第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
ML估计式的方差
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ML估计式的方差
，不同
（一）方差估计的一般方法（适合于任何容量的样本）
通过求解似然方程
的方法适用于不同的样本；大样本公式，小样本公式。
统计误差：，即没有对实验条件进行修正，
则由ML得到的误差为统计误差。
否则：误差 统计误差＋实验误差
LF :
，得θi的估计式
是随机变量
的函数
的真值：
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ML估计式的方差
1.
此式与上式等价。
估计式的方差。
2. 由
是
分母为归一化因子。
和
的协方差
的表达式已知，则无需任何数据就可求出
可导出
的概率分布
：雅可比行列式
3. 在给定的样本下，可认为
的概率分布函数
，而
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ML估计式的方差
时，ML估计值服从正态分布N(θ,MVB)
如果
b(θ）:偏差
由有效性条件
样本容量
的方差由MVB给出：
如果
是θ的无偏估计， b(θ）= 0
（二）充分ML估计式的方差
是参数θ的充分估计式（从而也是有效估计