文档介绍：拉普拉斯算子
在数学和物理中，拉普拉斯算子或拉普拉斯算符(Laplaceoperator，Laplacian)
个微分算子，通常写成△或▽?;拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用干波方程的数学模型、拉普拉斯算子
在数学和物理中，拉普拉斯算子或拉普拉斯算符(Laplaceoperator，Laplacian)
个微分算子，通常写成△或▽?;拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用干波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中,其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数:拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。
定义
拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度(勺)的散度(▽・f)。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
S二丁，(1)

(2)
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把0函数映射到0-2函数，对于k三2。表达式(1)(或(2))定义了一个算子A:O(Rn)-O-2(Rn),或更一般地，定义了一个算子A:O(Q)fCk-2(Q),对于任何开集Q。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
△f=职职小
坐标表示式
二维空间
其中x与y代表x-y平面上的笛卡儿坐标另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
N维空间
在参数方程为x=rO^Rn(其中rU[O,+w)以及B^Sn-i)的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
心忤薯4
其中△SN-1是N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把旳1榔心财
八；'I.'.的项写成"I
恒等式
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：
A(fg)=(Af)ff+2((Vf)•(Vg))+f(Ag).
f是径向函数f(r)且g是球谐函数Y加(0)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向矢量，而角函数的梯度与径向矢量相切，因此：2(v/w)(vyim^^))=o.
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
△爲“,血=—"牛“丫心他莎
因此
△屮讥W))=(学计-智W))瞎财
推广复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：聖兰塁丄坐
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