高等代数习题答案.docx

文档介绍：高等代数****题答案
高等代数****题答案
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高等代数****题答案
高等代数〔北大第三版〕答案
目录
第一章
多项式
第二章
队列式
第三章
线性方程组
第四章
矩阵
第五章
二次型
第六
证n
xi2
xi
i
1
i1
nx12
x22
xn2
x12
x22
xn2
2x1x2
2x1xn
2x2x3
2x2xn
2xn1xn
n1
x12
x22
xn2
〔2x1x2
2x1xn
2x2x3
2x2xn
2xn1xn〕
x12
2x1x2
x22
x12
2x1x3
x32
xn21
2xn1xn
xn2
x
x
2
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i
j
。
1
ijn
可见：
1〕当x1,x2,
,xn不全相等时
fx1,x2,
,xn
xi
xj
2
0。
1
i
j
n
2〕当x1
x2
xn时
fx1,x2,
,xn
xi
xj
2
0。
1
i
j
n
故原二次型 fx1,x2, ,xn是半正定的。
16．设fx1,x2,,xn
XAX是一实二次型，假定有实
n维向量X1,X2使
X1AX
0，
X2AX20。
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证明：必存在实
n维向量X0
0使X0AX0
0。
设A的秩为r，作非退化线性替代
X
CY将原二次型化为标准型
XAXd1y12
d2y22
dryr2，
此中dr为1或-1。由，必存在两个向量
X1,X2使
X1AX1
0
和
X2AX2
0，
故标准型中的系数
d1,
,dr不行能全为
1，也不行能全为-1。不如设有
p个1，q个-1，
且pqr，即
XAXy12
y2p
y2p1
yp2
q，
这时p与q存在三种可能：
p
q，
p
q，
pq
下边仅议论p
q的情况，其余近似可证。
令y1
yq1，
yq1
yp
0，
yp1
ypq1，
那么由ZCY可求得非零向量
X0使
X0AX0
y12
yp2
yp2
1
y2pq
0，
即证。
17．A是一个实矩阵，证明：
rank
AA
rank
A。
证因为rankArank
AA的充足条件是
AX
0与AAX
0为同解方程组，故只需
证明AX
0与AAX
0
同解即可。事实上
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高等代数****题答案
AX
0
AAX
0
XAAX
0
AX
AX
0
AX
0，
即证AX
0与AAX
0
同解，故
rank
AA
rankA。
注
该结论的另一证法详见本章第三局部〔增补题精解〕第
2题的证明，此处略。
一、 增补题参