文档介绍：计算方法大作业第一部分、计算方法学****回顾 1. 主要知识点: 误差分析, 插值法与拟合, 数值积分, 数值微分, 线性方程组的直接解法和迭代解法, 非线性方程求根, 矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法 2. 解决的问题: ( 1 )最小二乘拟合方法的实际应用曲线拟合就是拟合测量数据曲线。所选择的曲线有时通过数据点,但在其他点上, 曲线接近它们而不必通过它们 13,41~ 在大多数情况下, 选择曲线使得数据点的平方误差和最小。这种选择就是最小二乘曲线拟合。下面介绍一下最小二乘法拟合的基本原理。设已知个数据点)(i=0 , 1, ?,一 1) ,求(m 一 1) 次最小二乘拟合多项式: 其中设拟合多项式为各正交多项式: 的线性组合: 则继续往向下推导得: 继续推导最后可得一般形式的 m一 1 次多项式: 即为最小二乘拟合多项式其拟合精度由下式来评定: 应用实例: 某建筑物 176 d 水平位移测量数据如下表所示, 在程序编制过程中, 为了防止运算溢出,用来代替, 其中。此时,拟合多项式的形式为: 此时,拟合多项式的形式为: 运用最小二乘多项式拟合时, 拟合多项式的次数越高, 其拟合精度未必越高。以拟合最高次数 l9 次为例,拟合系数如表 2 ,拟合的精度评定见表 3。根据水平位移的观测数据, 实现了累计观测时间与水平位移的曲线拟合, 在有限的测量数据条件下, 表述了时间与该建筑物水平位移之间的函数关系。曲线拟合的最小二乘法在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛,提高了数据处理的效率和精确度, 最 d"- 乘曲线拟合实现方法简明、适用,可应用于类似的测量数据处理和实验研究。举例: 在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮, 其底园半径 R=300mm , 凸轮的上端面不在同一平面上, 而要根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要求, 将底园周 18 等分, 旋转一周。第个分点对应柱高, 数据见下表。为了数控加工,需要计算出园周上任一点的柱高。凸轮高度的数据(单位: mm ) 分点 i 0和 1812345 柱高分点 i 6789 10 11 柱高分点 i 12 13 14 15 16 17 柱高我们将园周展开,借助 MATLAB 软件画出对应的柱高曲线散点图(左下图)。 clear;close; x=linspace(0,2*pi*300,19); y=[ ,,,,,,,,,,,1 ,,,,,,,]; plot(x,y, ’o’);axis([0,2000,0,550]); 可见,可以用三次多项式插值,下面给出借助 MATLAB 软件画出的柱高插值曲线图( 右上图)。 xi=0:2*pi*300; yi=interp1(x,y,xi, ’ cubic ’); plot(xi,yi); (2 )数据插值方法及应用多项式插值设有 m 次多项式 mm mmaxaxaxaxP???????1 110)(?通过所有 1?n 个点),(, ),,( ),,( 1100nnyxyxyx?,那么就有 niyaxaxaxa imim mi mi,,1,0, 1 110??????????可以证明当 nm?且 nxxx???? 10 时,这样的多项式存在且唯一。若要求得到函数表达式,可直接解上面方程组。若只要求得函数在插值点处数值,可用下列 Lagrange 插值公式)()( ,0 0???????? nijjji j ni inxx xxyxP 多项式插值光滑但不具有收敛性,一般不宜采用高次多项式(如 7?m ) 插值。第二部分、水槽的液位控制 1 问题的提出耦合水槽如图所示,对耦合水槽建模如下[i]: 1 1 1 1 1 3 1 2 dH A Q H H H dt ? ?? ? ?? 2 2 2 2 2 3 1 2 dH A Q H H H dt ? ?? ? ??(3-39) 其中, 2 1 2 A A cm ? ?为 1 号和 2 号水槽的截面积, 1H , 2H 分别是两个水槽的液面高度, 1Q , 2Q 分别是两个水泵向水槽中注水的体积流速( 3 cm s ), 1?, 2?, 3?分别是与 1H , 2H ,