大学全册高等数学知识点.docx

文档介绍：大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
f(x)xxa'xx0
极限与连续
数列函数：
类型：
数列：*anf(n)；
初等函数：
⑶分段函数：*F(x)
⑷复合洽f)函数：y
*an1f(an)
fl(x)x0
axb
lim[f(x)
，(-0)
x
(1)间断点判别(个数);
ax]f(x):axb
⑵分段函数连续性(附:极限函数，
f'(x)连续性)
[a,b]上连续函数性质
连通性：f([a,b])[m,M](注:01,平均”值：f(a)(1)f(b)f(x。))
介值定理：(附：达布定理)
零点存在定理：f(a)f(b)0f(xo)0(根的个数);
x
f(x)0(f(x)dx)'0.
a
f（xh）f（xh）
h0h
第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）
.基本概念：
f(xVx)
：f'(x)lim
f(X)
；f'(x°)
limf(x)f(X0)
Vx0
Vx
Xx
xX0
f(x)f(0)
(1)f'(0)lim
（注
:lim
f(x)
A（f连续）
f(0)
0,f'(0)A)
X0x
x0
X
（2）左右导：f（X°）,f（x））；
⑶可导与连续；（在x0处,
X连续不可导；
XX可导）
2•微分与导数：Vff（xVx）
f(x)
f'(x)Vxo(Vx)
df
f'(x)dx
（1）可微可导；
（2）比较f,df与"0"的大小比较（图示）；
：

；(注:(f(x))')
：（1）四则运算；
dx
⑵复合法则；⑶反函数一
1
dy
y'
（方法步骤）：
：（1）f'（a）与f（x）xa；⑵分段函数左右导；（3）lim
F(x)xx0
(注：f(x),,求：f'(X0),f'(X)及f'(X)的连续性)
axx0
(公式加法则)：
(1)uf[g(x)],求:u'(x°)(图形题)；
xxbb
⑵F(x)af(t)dt,求：F'(x)(注:(af(x,t)dt)',(af(x,t)dt)',(af(t)dt)')
f1(x)xx0''
⑶y£/、，，求f(x°),f帆)及f'(x°)(待定系数)
f2(x)xx
3.
4.
5.
四.
1.
2.
3.
4.
五.
1.
2.
隐式(f(x,y)0)导：巴，马
dxdx
存在定理；
微分法(一阶微分的形式不变性).
对数求导法.
x
参式导(数一,二)：
y
2
x(t)，求凹4
y(t)dxdx
高阶导f(n)(x)公式:
/ax、(n)nax
(e)ae
(斗)(n)
abx
bnn!
(abx)n1
(sinax)(n)ansin(ax
2n)；
(cosax)⑴
ancos(ax
(uv)⑴u(n)vcnjn1)v'C；u(n2)
v"L
注：f(n)(0)与泰勒展式：f(x)
a0a1x
a2X2L
ni
anXLan
f(n)(0)
n!
各类应用：
斜率与切线(法线);
(区别：y
f(x)上点Mo和过点Mo的切线)
物理：(相对)变化率
速度;
曲率(数一二)：
(门
边际与弹性(数三)：单调性与极值(必求导)
(附:
f"(x)
f'2(x))3
(曲率半径，曲率中心，曲率圆)
需求，收益，成本，利润)
判别(驻点f'(x。)0):
(1)f'(x)0f(x)Z
f'(x)
0f(x)]
(2)分段函数的单调性
(3)f'(x)0零点唯一；
f"(x)
0驻点唯一
(必为极值，最值).
极值点:
(1)表格(f'(x)变号)；(由lim
xx
f'(x)
x
0，limf'(x)
xx0
0，l宀0
xx0x
x0的特点)
(2)二阶导(f'(X。)0)
注(1)f与f'，f"的匹配(f'图形中包含的信息)；
⑵实例：由f'(x)(x)f(x)g(x)确定点’XXo”的特点•
(3)闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)
(f(x)0)
(1)区别：*单变量与双变量？
*x[a,b]与x[a,
),
)?
(2)类型:*f'
0,f(a)0;
*f'0,f(b)0
II
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