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一元线性回归分析
1一元回归分析
在进行回归分析时，我们必需知道或假定在两个随机之间存在着一定的关系。这种关系可以用Y的函数的形式表示出来，即Y是所谓的因变量，它仅仅依
68
4624
工234
10144
n二9,X二234二26,
99
£(x-x)=4060
i
i=1
£(y-y)=
i
i=1
£(x—X)(y—y)=
ii
i=1
工(x-x)(y-y)
b=——二=35348=(x-x)24060
i
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i=1
a=y-bx=
用Minitab求得的结果如下：
a
因此所求的回归直线方程为
y=+
参数估计量的分布
为了对前面所作的y与x是线性关系的假设的合理性进行检验,为了求出预测值的置信区间，我们必须知道所估计的参数的分布。
1)・b的分布：
工(x-x)(y-y)
由于b=亠Ji—
丫(x-x)2
i
i=1
按假定，y,y,…y相互独立，而且已知y〜N(a+bx,a2),其中x为
12ni
常数，所以由b的表达式知b为独立正态变量y,y,…y的线性组合，
12n
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于是b也是正态随机变量。可以证明b〜N(b,a2/工(X-x)2)
i
i=1
另外，对于任意给定的X=X，其对应的回归值y=a+bx，由于000
a=y-bx，所以可以写成，
八八
y=a+bx=y+b(x-X)
000
也就是说，在x=x处y所对应的估计值也是一个正态分布的随0
机变量，可以证明，
y〜N(a+bx,
00
1(x—x)2
+0—
n£(x—x)2i
i=1
a2)
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2)•方差o2的估计:
为了估计方差，考查各个x处的y与其相对应的回归值
ii
y=y+b(x—x)与其离差y—y的平方和SSD：
iiii
SSD=£(y—y)2
ii
i=1
可以证明，其期望值为，
E(SSD)=(n—2)a2
因此，E(SSD)/(n-2)是a2的无偏估计，即,
SSD
(n—2)
1
(n—2)
£(y—y)2
i
i=1
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而且，其自由度为n-2，其分布为,
(n—2)a2
a2
SSD
a2
〜X2(n—2)
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线性假设的显著性检验
现在来检验y二a+bx+£，E〜N(OQ2)这一线性假设是否合适，这也就是检验假设，
H:b=0H:b丰0
01
由于
设X〜N(0,1)，Y〜x2(n)，并且X与Y相互独立，则随机变量
t=X服从自由度为n的t(student)分布，记为t〜t(n)。v'Y/n
因此从上面的结果可以得知统计量，
b—b/伫〜t(n-2)(5)
Q2F◎2
(x-x)2
i=1
即，
因为在假设H下b=0，所以，在此假设下，
0
2乞(x—x)2〜t(n—2)
八i=「
由此可得，如果，
b|厂
—,i^(x—x)2>tz(n—2)，
QIa2
1i=12
b
t=—
s
b
或写成，
>t(n—2)a
2
其中s-_b
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bI目（X-X）2
则在显著水平a下拒绝假设h:b二0，认为回归效果是显著的，0
也就是说y与x之间存在着线性关系y二a+bx+£；若上述不等式反号,
就认为回归效果不显著，回归效果不显著的原因可能有以下几种：
a）影响y的除x外，还有其它不可忽略的因素；
b）y与x的关系不是线性的，而是存在着其他的关系；
c）y与x无关。
因此，在这样的情况下，要查明原因，分别处理。
例3：检验例2的回归效果是否显著。取a=。
解：因为n=9所以
(x-X)2=bl
n-2y(_、
乙(X-X)2y(y.-y)2日