文档介绍：一、全微分的定义二、可微的条件三、小结一、全微分的定义),(),(yxfyxxf???xyxfx??),(),(),(yxfyyxf???yyxfy??),(二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得如果函数),(yxfz?在点),(yx的某邻域内有定义,设),(yyxxP?????为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf?????为函数在点P对应于自变量增量yx??,的全增量,记为z?,即).,(),(yxfyyxxfz???????全增量的概念如果函数),(yxfz?在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz???????可以表示为)(?oyBxAz??????,其中BA,不依赖于yx??、而仅与yx、有关,22)()(yx?????,则称函数),(yxfz?在点),(yx可微分,yBxA???称为函数),(yxfz?在点),(yx的全微分,记为dz,????全微分的定义函数若在某区域D内各点处处可微分,),(yxfz?在点),(yx可微分,),(?oyBxAz??????,0lim0???z?),(lim00yyxxfyx????????]),([lim0zyxf?????),(yxf?故函数),(yxfz?在点),(、可微的条件定理1(可微分必要条件)如果函数),(yxfz?在点),(yx可微分,则该函数在点),(yx的偏导数xz??、yz??必存在,且函数),(yxfz?在点),(????????.,dyydxx????.dyyzdxxzdz??????证如果函数),(yxfz?在点),(yxP可微分,PyyxxP??????),(的某个邻域)(?oyBxAz??????总成立,特别地,当0??y时,上式仍成立,此时||x???,),(),(yxfyxxf???|),(|xoxA?????Axyxfyxxfx???????),(),(lim0,xz??????一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例如,.000),(222222???????????yxyxyxxyyxf在点)0,0()0,0()0,0(??.])0,0()0,0([yfxfzyx???????,)()(22yxyx???????如果考虑点),(yxP???沿着直线xy?趋近于)0,0(,则?22)()(yxyx??????22)()(xxxx???????,21?说明它不能随着0??而趋于0,时,即,当0??21])0,0()0,0([?????????yfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.),(])0,0()0,0([?oyfxfzyx????????即0说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。