文档介绍：学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
不等式·不等式的应用（1）
——方程根的讨论·教案
教学目标
1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论．
．可这两个交点应都在x轴正半轴上．
生：图5-6与图5-7比较发现，抛物线与y轴的交点应在正半轴上，即在y轴上的截距大于0．
师：如何计算抛物线在y轴上的截距？
生：抛物线在y轴上的截距为f（0），因此f（0）＞0．
如图5-8．
师：比较图5-6与图5-8，寻找其差别之处，还应添加什么条件？
生：两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图5-6所示抛物线的对称轴在y轴右侧，而图5-8所示抛物线的对称轴在y轴左侧，因此在条件中应添加对称轴x=-m＞0的条件．
师：这样我们就得到了抛物线
y=f（x）＝x2＋2mx＋2m2-3
与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有两个正根的充要条件是：
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
正根
师：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线与x轴的交点位置又如何？其所对等价条件应考虑几方面？
生：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线y=f（x）与x轴有两个交点，分别位于原点的两侧．如图5-9首先应考虑判别式Δ＞0，还需考虑抛物线在y轴上的截距小于0，即f（0）＜0．
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
（板书）师：因此，抛物线y=f（x）=x2＋2mx＋2m2-3．与x轴有两个交点，且分别位于原点两侧，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有一个正根，一个负根的充要条件是：f（0）＞0，即2m2-3＜0．解得：
　　　　
师（小结）：关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处理方法：（1）应用求根公式法；（2）应用根与系数的关系（韦达定理）；（3）应用二次函数的图象与性质．
（三）巩固
（板书）例1 m取何实数值时，关于x的方程
x2+（m-2）x＋5-m=0
的两个实根都大于2？
（在学生充分思考的前提下，发现错误，在及时分析、纠正错误的同时，使学生分析解决问题的能力得以提高）
师：同学中有这样一种作法：
解：设方程的两根为x1，x2．
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
　　
（板书）正确解法1：（应用韦达定理）
　　　
所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
所以原方程的两个根一个大于2，另一个小于2的充要条件是：（x1-2）（x2-2）＜0．解得：m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解法2：（应用二次函数）
设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图5-16，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实很大于2，另一个实根小于2．
（板书）例2 已知关于x方程：
x2-2ax＋a＝0
有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．
师：利用求根公式，将0＜α＜1，β＞2转化为关于a的不等式组，求a的取值范围，计算将会很繁琐．而利用根与系数关系进行转化时，很难得到充要条件．因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找问题解决的充要条件．
设y=f（x）=x2-2ax＋a，如图5-17，若方程f（x）=0的两根分别在区间（0，1）和（2，＋∞）内，即抛物线y=f（x）与x轴的两个交点在分别位于原点与点（1，0）之间和点（2，0）的右侧，由先前的经验可知，只需考虑f（0），f（1），f（2）的符号，而无需考虑判别式以及对称的位置，因此得出其充要条件为：
　　　　
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
学****必备欢迎下载
　
＜1，β＞2．
（四）小结
1．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．
2．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．
设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α