文档介绍：不等式·不等式的应用(1)
——方程根的讨论·教案
教学目标
,对一元二次方程的实根分布进行讨论.
,培养学生数形结合的思想.
(组)的求解问题,体现等价转化的数学思想.
教学重点与难点
重点:借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转化为由方程或不等式组成的条件组.
难点:寻求实根分布条件的等价转化.
教学过程设计
(一)引入新课
师:前阶段我们研究了不等式的性质,.
(板书:不等式的应用——方程根的讨论)
师:请同学们思考此题的解法.
(出示小黑板或投影幻灯片)
练习:实数m取何值时,方程
x2+2mx+2m2-3=0 ①
有:(1)两个正根?
(2)一个正根,一个负根?
(教师巡视后,发现学生中的不同解法,肯定正确方法,纠正偏差)
师:由于一元二次方程,一元二次不等式与二次函数三者有着密切的联系,是否可以考虑应用二次函数的图象与性质?
(二)讨论
生:一元二次方程的实根是相应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标,讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图象与x轴的交点的位置问题.
师:不妨设y=f(x)=x2+2mx+2m2-3,这是二次函数,其图象是开口向上的抛物线(如图5-6),若方程①有两个正根,即抛物线y=f(x)与x轴正半轴有两个交点,或与x轴正半轴相切,其充要条件是什么?
生:首先判别式Δ≥0,这样可以保证抛物线与x轴有两个交点,或与x轴相切.
师:满足Δ≥0的条件,如图5-7抛物线与x轴的两个交点,一个在x轴正半轴上,.
生:图5-6与图5-7比较发现,抛物线与y轴的交点应在正半轴上,即在y轴上的截距大于0.
师:如何计算抛物线在y轴上的截距?
生:抛物线在y轴上的截距为f(0),因此f(0)>0.
如图5-8.
师:比较图5-6与图5-8,寻找其差别之处,还应添加什么条件?
生:两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同,图5-6所示抛物线的对称轴在y轴右侧,而图5-8所示抛物线的对称轴在y轴左侧,因此在条件中应添加对称轴x=-m>0的条件.
师:这样我们就得到了抛物线
y=f(x)=x2+2mx+2m2-3
与x轴正半轴有两个交点,或与x轴正半轴相切,即方程x2+2mx+2m2-3=0,有两个正根的充要条件是:
正根
师:若方程①有一个正根,一个负根,抛物线与x轴的交点位置又如何?其所对等价条件应考虑几方面?
生:若方程①有一个正根,一个负根,抛物线y=f(x)与x轴有两个交点,-9首先应考虑判别式Δ>0,还需考虑抛物线在y轴上的截距小于0,即f(0)<0.
(板书)师:因此,抛物线y=f(x)=x2+2mx+2m2-,且分别位于原点两侧,即方程x2+2mx+2m2-3=0,有一个正根,一个负根的充要条件是:f(0)>0,即2m2-3<:
师(小结):关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处理方法:(1)应用求根公式法;(2)应用根与系数的关系(韦达定理);(3)应用二次函数的图象与性质.
(三)巩固
(板书)例1 m取何实数值时,关于x的方程
x2+(m-2)x+5-m=0
的两个实根都大于2?
(在学生充分思考的前提下,发现错误,在及时分析、纠正错误的同时,使学生分析解决问题的能力得以提高)
师:同学中有这样一种作法:
解:设方程的两根为x1,x2.
(板书)正确解法1:(应用韦达定理)
所以当-5<m≤-4时,方程的两个实根大于2.
所以原方程的两个根一个大于2,另一个小于2的充要条件是:(x1-2)(x2-2)<:m<-<-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
解法2:(应用二次函数)
设f(x)=x2+(m-2)x+5-m,如图5-16,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f(2)<0,即4+2(m-2)+5-m<<-<-5时,方程的一个实很大于2,另一个实根小于2.
(板书)例2 已知关于x方程:
x2-2ax+a=0
有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a的取值范围.
师:利用求根公式,将0<α<1,β>2转化为关于a的不等式组,求a的取值范围,,,考虑利用二次函数图象,数形结合寻找问题解决的充要条