第四讲求极限的综合方法.ppt

文档介绍：高等数学方法应用高等数学方法应用求极限的综合方法——冯伟杰高等数学方法应用高等数学方法应用◆L-Hospital 法则◆Heine 归结原理——数列极限和函数极限的关系◆等价无穷小替换◆两个重要极限◆其它:利用导数或微分的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则:夹逼性、单调有界原理◆带 Peano 型余项 Taylor 公式高等数学方法应用高等数学方法应用◆L-Hospital 法则型 00,1,0??型???型??0 型 0 0型?????0 10 1??0 000 00????取对数高等数学方法应用高等数学方法应用 x ex xx??? 10)1( lim ●xxy 1)1(??)1 ln( 1 lnxx y?? 2)1 ln( 1 1x xxxy y ????? 2)1 ln( )1( 1x xxx ????] )1 ln( )1( 1[)1( lim 2 10x xxx x xx??????] )1 ln( )1( 1[ lim 20x xxx e x?????)1( )1 ln( )1( lim 20xx xxxe x??????22 )1 ln( lim 0ex xe x??????1 再次使用)0 0(高等数学方法应用高等数学方法应用 x xxe x 1 10] )1([ lim ??●e xx xx 10)1( ln 1 lim ?? x xx x1)1 ln( 1 lim 0????故原式 2 1??e 先取对数 20)1 ln( lim x xx x???? x x x2 11 1 lim 0????2 1??)1( ?高等数学方法应用高等数学方法应用洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意: 1、求极限过程中,若某个因子的极限已知, 则可先提出已知极限; 2、求极限过程中,可连续使用洛必达法则, 直至求出不定型的极限; 3、在求不定型过程中, 不是必须使用洛必达法则才行,还可以使用其他方法如等价无穷小替换、带Peano 型余项的 Taylor 公式以及重要极限,或者它们相互结合使用,效果会更好。高等数学方法应用高等数学方法应用◆等价无穷小替换.)'1( lim )1( lim 3 ,' lim lim 2 ' ' lim lim 1 ,'~,'~' 1 1??????????????????????)幂指型代换: ( 是给定的因变量; 其中)乘积型代换: ( ; )分式型代换: ( 有两对等价无穷小 x x xex cos 1 120)1( lim ???● 2 220 2)1( limex x x????)1( ?高等数学方法应用高等数学方法应用 x ex xx??? 10)1( lim ●x ee x xx????)1 ln( 0 lim x ee x xx]1[ lim 1 )1 ln( 0?????2 )1 ln( lim 1 )1 ln( lim 200ex xxex x xe xx??????????)1( lim ??? nnnn ●)1( lim ln???? n nnen0 ln lim ln lim ????????n nn nn nn 高等数学方法应用高等数学方法应用)1( ln ln ln) ln ln( lim 0??????????????????????????aa x ax ax x ●,1 ln ln ln ln ln ln????ax xaa x ax ?????????????????????????????)1 ln ln(1 ln ln ln lna x ax a x axax aa x ax ln ln ln21 ln ln~???型 0??高等数学方法应用高等数学方法应用??????????????????????????a x ax ax x ln ln ln) ln ln( lim 0???????????ax aax x ln ln ln2) ln ln( lim 0aax aax x ln2 ln ln ln2) ln ln (ln lim 0?????????????