金融衍生产品的定价综述.docx

文档介绍：金融衍生产品定价模型综述
蒲实
(重庆大学数学与统计学院2008级统计2班)
一．摘要
衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam股票交易所，就已经有了S(t)服从如下的随机微分方程
dS(t)=ys(t)dt+Cdw(t)S(0)=x,卩为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望
回报率，b为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，为标准布朗运动，t>0
X为常数。无风险债券的价格B(t)服从如下的方程dB(t)=rB(t)dt(b(0)、r为常数)对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数c=C(S(t),t)这里，我们并不知道函数c(.)的具体形式，只知道它在t
(0,+Jdo,T)是两次连续可微的。对函数C()利用Ito引理，我们得到
de(t)dt+C(S(t),tbs(t)dw(t),t<t这里，
tYx
卩C)二C(S(t),t)pS(t)+C(S(t),t)+iC(S(t),tb2S(t)2
Yxt2xx
下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略(a,b)=£,b):0<t<T｝满足此要求，这里，a表示在时间t购ttt
买的股票份数，b表示在时间t购买的债券的份数，则aS(t)+bB(t)二e,tG[o,T]
tttt
我们得到de=adS(t)+bdB(t)=(pS(t)+bB(t)r)dt+aoS(t)dw(t)
tttttt
通过比较dw(t)与dt的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，我们比较dw(t)
的系数，得到a=C(S(t),t)。我们得到C(S(t),t)S(t)+bB(t)=C(S(t),t)从而
txxt
b=丄Cs(t),t)—C(S(t),t)S(t)]其次，我们比较dt的系数，得到，对于t<T有
tB(t)x
—rC(S(t),t)+C(S(t),t)+rS(t)C(S(t),t)+十o2S(t)2C(S(t),t)=0
tx2xx
为了成立，只需C()满足如下的偏微分方程—rC(x,t)+C(x,t)+rxC(x,t)++o2x2CCx,t)=0
tx2xx
(x,t)e(0,g)x[0,T)，由欧式期权的到期日支付得边界条件C(x,T)=(x-K)+，x€(0,g)
利用Feynman-Kac公式，通过解带边界条件()的偏微分方程()，我们得到
lnCJ+rT1厂
Black-Scholes期权定价公式e=xN(d)-Ke-rTN(d)这里d=——+-o^T
0191o十T2
d2=d--o具体的解过程由Smith(1976)和Malliaris(1983)给出。Smith非常系统的给
出了期权定价方法的应用，Malliaris说明了随机分析的本质作用。Duffie(1996)给出了Black-Scholes-Merton定价公式的数学基础以及金融解释，同时还给出了期权定价的金融学解释。上面给出的欧式期权的定价方法的基本假设是市场无套利机会，同时应满足如下假设：股票价格服从常波幅的扩散过程；市场连续交易；常