文档介绍：-
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线性代数知识点总结
1 行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：〔用于化简行
〔1〕A为抽象矩阵：由定义或性质求解；
〔2〕A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型〔每行第一个非零元素下面的元素均为0〕，则r〔A〕=非零行的行数
〔五〕伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：〔8条〕
〔1〕AA*=A*A=|A|E→*A*=|A|A-1
〔2〕〔kA〕*=kn-1A*
〔3〕〔AB〕*=B*A*
〔4〕|A*|=|A|n-1
〔5〕〔AT〕*=〔A*〕T
〔6〕〔A-1〕*=〔A*〕-1=A|A|-1
〔7〕〔A*〕*=|A|n-2·A
*〔8〕r〔A*〕=n〔r〔A〕=n〕；
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r〔A*〕=1 〔r〔A〕=n-1〕；
r〔A*〕=0 〔r〔A〕＜n-1〕
〔六〕分块矩阵
13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法一样。
14、分块矩阵求逆：
3向量
〔一〕向量的概念及运算
1、向量的积：〔α，β〕=αTβ=βTα
2、长度定义： ||α||=
3、正交定义：〔α，β〕=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0
4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E ←→ A-1=AT←→ ATA=E → |A|=±1
〔二〕线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组〔α1，α2，…，αs〕〔*1，*2，…，*s〕T=β有解。
*(2)←→r〔α1，α2，…，αs〕=r〔α1，α2，…，αs，β〕〔系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验〕
6、线性表示的充分条件：〔了解即可〕
假设α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：〔大题第二步〕
设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
〔α1，α2，…，αs|β〕→初等行变换→〔行最简形|系数〕
行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
〔三〕线性相关和线性无关
8、线性相关考前须知：
〔1〕α线性相关←→α=0
〔2〕α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
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向量组α1，α2，…，αs线性相关
〔1〕←→有个向量可由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔*1，*2，…，*s〕T=0有非零解；
*〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕＜s 即秩小于个数
特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关
〔1〕←→ r〔α1，α2，…，αn〕＜n
〔2〕←→|α1，α2，…，αn |=0
〔3〕←→〔α1，α2，…，αn〕不可逆
10、线性相关的充分条件：
〔1〕向量组含有零向量或成比例的向量必相关
〔2〕局部相关，则整体相关
〔3〕高维相关，则低维相关
〔4〕以少表多，多必相关
*推论：n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，…，αs线性无关
〔1〕←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔*1，*2，…，*s〕T=0只有零解
〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕=s
特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关
←→r〔α1，α2，…，αn〕=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
〔1〕整体无关，局部无关
〔2〕低维无关，高维无关
〔3〕正交的非零向量组线性无关
〔4〕不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
〔1〕定义法
*〔2〕秩：假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关
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【专业知识补充】
〔1〕在矩阵左边乘列满秩矩阵〔秩=列数〕，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
〔2〕假设n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即〔β1，β2，β3〕=〔α1，α2，α3〕C，则r〔β1，β2，β3〕=r〔C〕，从而线性无关。
←→r〔β1，β2，β3〕=3 ←→ r〔C〕=3 ←→ |C|≠0
〔四〕极大线性无关组与向量组的秩
14、极大