文档介绍：一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是( )
A．(－2，5) B．(5，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
【解析】 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，
由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
【答案】 D
4．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则x2＋ax＋4＝0一定有解．
∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.
【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
题型一 一元二次不等式的求解
角度一 不含参的不等式
【例1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．
角度二 含参不等式
【例2】 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.
【解析】 由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，
②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，
③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}．
【引申探究】
将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
【思维升华】 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
题型二 一元二次不等式恒成立问题
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
【例3】 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
角度二 形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
【例4】 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈
[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围．
角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
【例5】 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
【思维升华】 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】 作出二次函数f(x)的草图