文档介绍：*
第六章 定积分及其应用
，
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数,
这是积分学的一个基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.
，
再
计算F x 在 a , b 上的改变量F(b) – F(a)即可.
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例4 计算下列定积分
*
例5 求
原式
例6 设 , 求 .
解
解
*
2. 利用定积分的几何意义求定积分：
2
（a＞0）.
解 根据定积分的几何意义知,
表示由曲线
及x轴所围成的
圆的面积,而此
圆面积为
,所以
*
3. 求由方程
所确定的隐函数y=y x 的导数.
解 方程两边对x求导数得:
又由已知方程有
,即
于是有
.
*
4. 当x为何值时,I x =
有极值
解
,令
得驻点
,又
,
所以当x=0时,I x 有极小值,且极小值为I(0)=0.
*
解
4
*
6. 已知f x 连续,且f(2)=3,求
.
解
*
由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分
§ 定积分的计算方法
第五章知求函数的原函数 即不定积分 的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分 .
的关键在于求出ƒ x 在 a, b 上的一个原函数F(x); 而由
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例1 计算
例2 计算
．
解
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1 在 α,β 上单调连续且具有连续导数;
2 (α)= a, (β)= b, 则
定理1 若ƒ x 在 a, b 上连续, 而 x =(t) 又满足
证 设F x 是ƒ(x)的一个原函数,
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——此式称为定积分的换元公式.
3 求出
在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:
1 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;
2 “上限对上限,下限对下限”;
求不定积分那样把 t 还原成 x 的函数, 而只须直接将 t
的上、下限代入相减即可.
后,不必象
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例1 当 a > 0时, 计算
*
例2 1
解
*
注 由几何意义知, 此定积分
即为圆
在第Ι象限的面积.
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例3 设ƒ x 在 −a, a 上连续, 则
证
1 若为ƒ(x)偶函数, 则有ƒ(x)=ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
从而
*
2 若ƒ(x)为奇函数, 则有ƒ(x)=−ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
从而
注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算.
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奇函数
例4 计算
解
原式
偶函数
单位圆的面积
*
证
（1）设
*
（2）设
*
*
例6
解
上式两边对x求导,得
两边对x求导,得
*
例7 设函数f x =
,求
．
解 设u=x-2,则当x=1时,u=-1;当x=4时，u=2．于是
．
*
定理2 若u = u x 及v = v(x)在 a, b 上有连续导数, 则
证 因d uv = udv + vdu, 两边积分得
例8 计算
*
*
例9 计算
解
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例10 计算
解
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例11 设 求
解
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*
例12 设 在 0, 1 上连续, 求
解
*
例13 证明定积分公式
为正偶数
为大于1的正奇数
证
*
积分 关于下标的递推公式
直到下标减到0或1为止
*
于是
*
思考题
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思考题解答
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8
解 令
,则
当x=0时,t=0;当
时,
,
于是
*
*
解 令
,则
,当x=1时,t=1;当x=2,t=
;
11
于是
*
3. 证明下列等式：
x＞0 ；
证 令
则
,
即
*
4. 若f t 是连续函数且为奇函数,证明
若f t 是连续函数且为偶函数,证明
是奇函数.
是偶函数；
证 令
.
,若f t 为奇