文档介绍：------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————声学波导管食不厌精脍不厌细 1 、恒定截面波导内的声传播 、矩形波导管 、圆柱形波导管设有一半径为 a 的圆柱形管, 一端延伸到无限远。圆柱形管的声波方程应以柱坐标系来描述。设管的径向坐标为 r, 极角为?, 管轴用 z 来表示。直角坐标与柱坐标之间有如下关系?x?rcos???y?rsin? ?z?z? 而柱坐标系的拉普拉斯算符可表示为 1??1?2?2 (r)?2?2 (1-2-1) ??2r?r?rr???z2 于是三维声波动方程就可变换为: 1??p1?2p?2p1?2p(r)?2?? (1-2-2) r?r?rr??2?z2c2?t2 根据分离变量法,令解 p(r,?,z,t)?R(r)?(?)Z(z)ej?t, 将其代入( 1-2-2 )式可得如下三个常微分方程?d2Z?kz2Z?0?2dz?d2?? ??m2??0 (1-2-3) 2d??22?dR?1dR?(k2?m)R?0r22?rdrdrr? 其中 k?2?2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ —————————————————————————————————————— c2?kz2?kr2. (1-2-4) 由于圆柱管道向无限远处延伸,对于 Z 的方程可取行波解: Z(z)?Aze?jkzz; (1-2-5) 对于? 的方程可取解为?(?)?A?cos(m???m), (1- 2-6) 因为?(?)??(??2?) 的关系应该满足,所以式中 m 一定要为正整数。对于 R 的方程我们作一适当变换,令 krr?x, 则方程就化为 d2R1dRm2 ?(1?2)R?0. (1-2-7) 2?dxxdxx 这是一个标准的 m 解贝塞尔方程,其一般解可表示为 R(krr)?ArJm(krr)?BrNm(krr), (1-2-8) 这里 Jm(krr) 与 Nm(krr) 分别代表宗量为(krr) 的m 阶柱贝塞尔函数与柱诺伊曼函数。按照柱诺伊曼函数在零点发散的性质,式中应取 Br?0, 于是( 1-2-8 ) 式简化为 R(krr)?ArJm(krr) ,( 1-2-9 ) 由此求得管中声压解为: pm?AmJm(krr)cos(m???m)ej(?t?kzz), (1-2-10) 由运动方程 j??Ur?? vrm??p 可求得对应的径向速度为: ?rj?pmjkdJ(kr)?Amr[mr]co s(m???m)ej(?t?kzz), (1-2-11) ?0??r?0?d(krr) ------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————设管壁为刚性,即在 r?a 处有 vr?0, 由此条件可得知如下关系: [ 按照贝塞尔函数的递推关系 dJm(krr)](r?a)?0, d(krr) ?dJm(x)1?dx?2[Jm?1(x)?Jm?1(x)] ?dJ0(x)???J1(x)dx? 可得到如下圆柱声波导的本征方程: Jm?1(kra)?Jm?1(kra) (m?0) J1(kra)?0 (m?0) 利用 MATLAB 可从这些方程解得一系列根植, 部分根植列于下表表 1. 圆柱声波导本征值在刚性壁条件下, kr 应有一系列特定的数值, 此特定值可用下标 m与n 两个正整数表示, 我们写成 kr?kmn. 在 k?kmn 时声压解可写成如下形式 pmn?Amncos(m???m)Jm(kmnr)ej(?t?kzz), (1-2-12) 其中 2 kz?k2?kmn (1-2-13) 当 k?kmn 时,圆柱管中存在非传播形式的高次模式,这些高次模式会随距离衰减,此时声压解可写成如下形式 pmn?Amncos(m???m)e??mnzJm(kmnr)ej?t, (1-2-14) 其中 222??kmn?k2 kz??jkmn?k , mn ------------------------------------------------------------------------------------------