文档介绍：数学分析(下) 河海大学理学院第九节多元函数的极值及其求法数学分析(下) 设函数),(yxfz在点),( 00yx 的某邻域内有定义,对于该邻域内异于),( 00yx 的点),(yx : 若满足不等式),(),( 00yxfyxf,则称函数在),( 00yx 有极大值; 若满足不等式),(),( 00yxfyxf,则称函数在),( 00yx 有极小值;一、极值极大值、极小值统称为极值. 、定义数学分析(下) (1)(2)(3) 例1 处有极小值. 在函数)0,0( 43 22yxz例2 处有极大值. 在函数)0,0( 22yxz例3 处无极值. 在函数)0,0( xy z数学分析(下) 定理 1( 必要条件) 设函数),(yxfz在点),( 00yx 具有偏导数, 且在点),( 00yx 处有极值,则0),( 00yxf x ,0),( 00yxf y . 2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),( 00yx 处有极大值, 则对于),( 00yx 的某邻域内任意),(yx ),( 00yx 都有),(yxf ),( 00yxf ,证数学分析(下) 有),( 0yxf),( 00yxf , 数学分析(下) 定义使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点. 驻点极值点问题如何判定一个驻点是否为极值点? 定理 2( 充分条件) 设函数),(yxfz在点),( 00yx 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 注意: 22yxz在在 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 处取极值但处取极值但 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 不是驻点不是驻点. . 数学分析(下) 又0),( 00yxf x , 0),( 00yxf y , 令Ayxf xx),( 00 ,Byxf xy),( 00 ,Cyxf yy),( 00 , 数学分析(下) 证明思路: 由一阶 Taylor 公式,得到),(),( 0000yxfkyhxff),(2),([2 1 00 00 2kyhx hkf kyhxfh xy xx)],( 00 2kyhxfk yy).10( 0 0 0 0 ( , )= ( , ) 0 xx xx f x h y k f x y     , 0 0 0 0 ( , )= ( , ) 0 xy xy f x h y k f x y     , 0 0 0 0 ( , )= ( , ) , 0 yy yy f x h y k f x y     数学分析(下) 04222 04222 yy xxzzzy zzzx 解 2 2 2 2 1 1 [ 2 ] [ 2 ] 2 2 f Ah Bhk Ck h hk k    222 12 B AC B f A h k k A A         数学分析(下) ,2 1|,0|,2 1|z zCzBz zA P yy P xy P xx)2(0)2( 1 2 2zz B AC 有6,2 21zz ,