立体几何中向量方法.docx

文档介绍：立体几何中的向量方法——求空间角、距离
1．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则l1与l2所成的角 θ知足cosθ＝|cosa2
a2
a－2
＋2－
2＋0－2
a2
a2
2
＝
4＋
4＝
2a.
5．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，
AD的中点，那么异面直线
OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
答案
15
5
解析
以D为原点，分别以
DA、DC、DD1为x轴、y轴、z
轴成立空间直角坐标系，
F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，
→
∴FD1＝(－1,0,2)，
→
OE＝(－1,1,1)，
→
→
1＋2
15
∴cos〈FD
1，OE〉＝
＝
5.
5·3
题型一 求异面直线所成的角
例1 如图，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，点E是正方形 BCC1B1的中心，点F、
分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．
(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；
(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．
思维启示：此题可方便地成立空间直角坐标系，
经过点的坐标获得向量坐标，
然后求解．
→
→
→
(1)证明以D为原点，DD
1、DC
、DA分别为z轴、y轴、x轴的正
→
向，2|DD1|为1个单位长度成立空间直角坐标系．
由题设知点
E、F、G1、E1的坐标分别为
(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，
(0,2,1)，
→
→
→
∴FE1＝(0,1，－1)，FG1＝(0，－1，－1)，EE1＝(－1,0,0)，
→→
→
→
→
→
→
→
∴FG1·EE1＝0，FG1·FE1＝0?FG1⊥EE1，FG1⊥FE1，
又∵EE1∩FE1＝E1
.∴FG
1⊥平面FEE1
.
(2)解由题意知点A的坐标为(2,0,0)，
→
→
又由(1)可知EA＝(1，－2，－1)，E11＝(0，－2,0)，
G
→
→
→
→
6
EA·E1G1
＝
∴cos〈EA
，E1G1〉＝
→
→
，
3
|EA||E·1G1|
→
→
2
→
→
3
∴sin〈EA
1－cos〈EA，E1G1〉＝3.
，E1G1〉＝
探究提高
用向量方法求两条异面直线所成的角，
是经过两条直线的方向向量的夹角来
π
α的范围是[0，π]，所
求解，而两异面直线所成角的范围是
θ∈0，2
，两向量的夹角
以要注意二者的区别与联系，应有
cosθ＝|cosα|.
如下图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝、
分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝．
解
→
→→
以A为原点，AB
、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向成立空间直角坐标系，
则有D1
→
→
＝(－4,2,2)，设
(0,3,2)
，E(3,0,0)
1
，于是EC
1＝(1,3,2)，FD1
，F(4,1,0)，C(4,3,2)
EC1与FD1