文档介绍：立体几何中的向量方法——求空间角、距离
1．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线 l1， l 2 的方向向量分别为 m1 ，m2，则 l1 与 l 2 所成的角 θ满______ ．
答案 60°或 120°
如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO— A′ B′ C′ D′，A′C的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ________．
2
答案 2 a
解析由图易知 A(a,0,0)， B( a，a,0)， C(0，a,0)， A′( a,0， a)．
F a， a2， 0 ， E a2， a2， a2 .
∴ EF＝
a 2
a
a 2
a 2
a－2
＋ 2－
2 ＋ 0－ 2
a2
a2
2
＝
4 ＋
4 ＝
2 a.
5．在棱长为 2 的正方体 ABCD —A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中点， E，F 分别是 CC1，
AD 的中点，那么异面直线
OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于 ________．
答案
15
5
解析
以 D 为原点，分别以
DA 、 DC、DD 1 为 x 轴、 y 轴、 z
轴建立空间直角坐标系，
F(1,0,0) ，D 1(0,0,2) ， O(1,1,0) ， E(0,2,1) ，
→
∴ FD 1＝ (－ 1,0,2) ，
→
OE＝ (－ 1,1,1) ，
→
→
1＋ 2
15
∴ cos〈 FD
1， OE〉＝
＝
5 .
5· 3
题型一求异面直线所成的角
例 1 如图，已知正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 是正方形 BCC1B1 的中心，点 F 、
分别是棱 C1D 1、 AA1 的中点，设点 E1、G1 分别是点 E、 G 在平面 DCC 1D1 内的正投影．
(1)证明：直线 FG1 ⊥平面 FEE 1；
(2)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值．
思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，
通过点的坐标得到向量坐标，
然后求解．
→
→
→
(1)证明以 D 为原点， DD
1、 DC
、DA 分别为 z 轴、 y 轴、 x 轴的正
→
向， 2|DD 1|为 1 个单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点
E、 F、 G1 、E1 的坐标分别为
(1,2,1) ，(0,1,2) ， (0,0,1) ，
(0,2,1) ，
→
→
→
∴ FE1＝ (0,1，－ 1)，FG 1＝(0 ，－ 1，－ 1)，EE 1＝ (－ 1,0,0)，
→ →
→
→
→
→
→
→
∴ FG1·EE1＝ 0， FG1·FE1＝ 0? FG1⊥ EE1， FG1⊥ FE1，
又 ∵ EE1∩ FE1＝ E1
.∴ FG
1⊥ 平面 FEE 1
.
(2)解由题意知点 A 的坐标为 (2,0,0) ，
→
→
又由 (1)可知 EA ＝(1 ，－ 2，－ 1) ，E1 1＝ (0，－ 2,0)，
G
→
→
→
→
6
EA·E1G1
＝
∴ cos〈 EA
， E1G1〉＝
→
→
，
3
|EA| |E·1G1|
→
→
2
→
→
3
∴ sin〈 EA
1－ cos 〈 EA， E1G1〉＝ 3 .
， E1G1〉＝
探究提高
用向量方法求两条异面直线所成的角，
是通过两条直线的方向向量的夹角来