文档介绍：协方差相关系数和矩
§ 协方差、相关系数和矩
一、协方差和相关系数的概念
对于二维随机变量，除了关心它的各个分
量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量之
间的相互关系，这种关系无法从 , 所以存在. 另一方面,对
任意λ ，二次三项式
, （4—29）
可见上述关于λ的二次三项式不可能有两个不同的实根,
因而判别式
即有 □
设（X，Y）是二维随机变量，若X与Y的相关系
数存在，则
（1）（4—30）
（2）的充要条件是存在常数使．
证明（1）
,
因此 , 即，所以．

（2）我们略去结论（2）的充分性证明，这里只给出必要
性的证明：
将二次三项式（4—29）中的X和Y分别换为和
则对任意λ ，有
，
即 .
特别地，当等于二次三项式的最小值点时，上
式变为
由于，故 . 根据方差性质4,有
即
于是, 存在常数和使 □
显然，利用（4—31）亦可证（4—30）的结论成立. 不过,
给出（4—31）的主要目的还在于证明结论（2）的必要性.
：X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关
程度的量．当时，X与Y依概率1线性相关；特别当
时,Y随X的增大而线性增大,此时称X与Y线性正相关
（Positive Correlation);当时,Y随X的增大而线性地减
小，此时称X与Y线性负相关(Negative Correlation);当变小
时,X与Y的线性相关程度就变弱;如果 =0,X与Y之间就不存
在线性关系，此时称X与Y不相关（Uncorrelated）．
需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关系上看没有
关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许此时还存在别的关系．
独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度的一种反映,
独立指的是X与Y没有任何关系，不相关指的X与Y之间没有线
性相关关系．
事实上，若X与Y独立，则X与Y一定不相关（这可以利用
（4－10）和（4－19）进行证明）；但反过来，若X与Y不相
关，则X与Y却未必独立．
然而，对于二维正态随机变量而言，X与Y的独立性
与不相关性却是等价的，我们有如下结果：