文档介绍：- 1 -
一。等差数列
：（d为常数）（)；
2．等差数列通项公式：
，首项：，公差:d，末项：
推广： ． 从而；
(1)假设,，成等差数列，那么叫档请下载）
(3)假设m+n=s+t （m, n， s， t），那么。特别的，当n+m=2k时,得
注：
（4）列,为等比数列，那么数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列.
(5)数列为等比数列，每隔k(k）项取出一项仍为等比数列
(6)假设是各项均为正数的等比数列,那么数列是等差数列
（7）假设为等比数列,那么数列，，，成等比数列
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（8)假设为等比数列,那么数列; ;成等比数列
(9）①当时， ②当时，
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
④当q〈0时,该数列为摆动数列。
(10）在等比数列中, 当项数为2n (n)时，,。
(11）假设是公比为q的等比数列，那么
例1.（1)设是等差数列，且,求及S15值。
(2)等比数列中，，,前n项和Sn=126,求n和公比q。
（3)等比数列中，q=2，S99=77,求a3+a6+…+a99;
(4）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数。
解:（1）由可得，所以=2,S15=
，所以或
又,所以或
评注：分解重组，引导发现()、()和（）的关系,从而使问题获得简单的解法.
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设等差数列共2n-1项,那么
评注：（1)在项数为项的等差数列中，；
(2)在项数为项的等差数列中．
变式:（1）假设一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为，那么这个数列有 项;（精品文档请下载）
（2）数列是等比数列，且，,，那么
9 ．
(3)等差数列前项和是，前项和是，那么它的前项和是 210 ．
（4）等差数列{an}和｛bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3)，求.。（）
例2。设等差数列的前n项之和为Sn,a3=12,S12>0，S13<0，
(1）求公差d的取值范围。
(2)指出S1，S2,S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。
解：（1)，，即，
由，代入得：。
（2)解一：由，可知，所以S6最大.
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解二:，由可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点,根据图象可知S6最大。
解三:，由得。
又抛物线开口向下,所以S6最大。
评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点，用配方法求解；借助等差数列的性质判断,通过”转折项"求解；借助二次函数图象求解。（经过原点）（精品文档请下载）
变式：(1） 等差数列｛an}中，,问S1,S2，S3，…Sn中哪一个值最大。
(2) 数列是首项为，公比为的等比数列,数列满足
，
①求数列的前项和的最大值；②求数列的前项和．
略解：（1)由题得，∴，∴是首项为3,公差为的AP。
∴，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为
（2）由（1）当时,,当时，,
∴当时，
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当时,
∴．
例3。（1） 由正数组成的等比数列，假设前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项和第4项之和为第2项和第4项之积的11倍，求数列的通项公式．（精品文档请下载）
①
②
解：当时,得不成立,∴，∴
由①得，代入②得，∴．
说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
(2)假设数列成等差数列，且,求．
解：（法一）根本量法（略）；
（法二）设,那么
得:，， ∴,
∴．
评注:法二抓住了等差数列前n项和的特征。
变式：设{an｝为等差数列，Sn为{an｝的前n项和，S7=7，S15=75，Tn为数列｛}的前n项和，求Tn.（精品文档请下载）
解：法一:(根本量法）设｛an}首项为a1，公差为d，那么
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∴ ∴ ，∴
∴ 此式为n的一次函数， ∴ {}为等差数列，∴ 。
法二：｛an｝为等差数列，设Sn=An2+Bn，∴
解之得： ∴ ，下略.
例4。等差数列,
（1)在区间上,该数列有多少项？并求它们的和；
(2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和。
解：，
(1)由，得，又，
∴ 该数列在上有项, 其和．