文档介绍：构造方程证明根号无理数
安徽省肥东县第二中学 朱永见 ( ：231600)
我们知道:假设整系数方程anxn+an-1xn—1+…+a1x+a0=0(an≠0）有有理根，(p、q是互质整数)那么，q一定是a0的
构造方程证明根号无理数
安徽省肥东县第二中学 朱永见 ( ：231600)
我们知道:假设整系数方程anxn+an-1xn—1+…+a1x+a0=0(an≠0）有有理根，(p、q是互质整数)那么，q一定是a0的约数,p一定是an约数.（精品文档请下载）
如今我们利用这个性质来证明根号无理数.
例1。 求证:是无理数.
证明： 设x= ，那么有x5－2=0,
∴ x= 是方程 x5－2＝0的一个根.
又根据上述性质，方程x5－2=0的有理根只可能是:±2、±1 ,分别代入原方程验证，皆不是原方程的根。（精品文档请下载）
∴ x= 不是此方程的有理根
∴ 是此方程的一个无理根，
∴. 是一个无理数.
例2 求证:是无理数.
证明：先证明是无理数
设x=
两边同时立方,得：
x3= 4+3··（)＋2
即:x3=6+6x
∴ x3－6x－6=0
∴ x=是方程x3－6x－6=0 的一个根.
而此方程有有理根的话，只可能为±1、±2 、±3、±6，经历证,这些都不是此方程的根。
∴ x=是此方程的无理根
∴。 是一个无理数
∴ 是无理数.
通过上面两例可知,构造方程证明根号无理数可按如下步骤来进展:
１．找出一个整系数方程，使待证的无理数是此方程的根。
２．列出此方程所有可能的有理根，再逐一代入原方程进展验证,假设此方程没有有理根， 那么说明待证的数就是无理数，假设方程有有理根的话， 再证明待证数和不等于这些有理根从而说明待证数是无理数。（精品文档请下载）