文档介绍：一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法
摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微为可分离变量的微分方程．
令
则
是可分离变量的微分方程．
若不全为零，则
代表平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为
令，则上述方程变为
则（）变为为可分离变量的微分方程．
注：若，则为的情形．
例4：求方程.
解：令,则，代入得到，有 ，所以
，
把u代入得到 。
例5：求方程.
解：由,得,令,有，代入得到
，
令， 有，代入得到， 化简得到，，
有， 所以有
故代入得到
3 常数变易法
一阶线性微分方程的一般形式
（）
其中在考虑的区间上是的连续函数.
当时,即
（）
称为一阶线性齐次微分方程，
当，称为一阶线性非齐次微分方程.
：一般变量分离
对分离变量，得
两边同时积分，得
即
则
非齐次方程通解的解法：常数变易法
不难看出,（）是（）的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,,使它满足方程,从而求出为此，令
（）
为方程（）的解，其中待定，将（）代入（），
得
即
从而
故，方程（）的通解为
注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和[4]。
例6：求解方 （）
解：方程（）所对应的齐次方程为
（）
其通解为
,
由常数变易法，令为方程（）的通解，并代入（）
即， ，则方程（）的通解为
.
4．恰当微分方程
若一阶微分方程
（）
的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
则（）为恰当微分方程，其中，为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数[1]．
那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法．
若（）为恰当微分方程，则
（）
（）
对（），（）分别求关于，的偏导数，有 ，， 由，的连续性，可知故，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件．
下面来讨论()的通解形式
由()知
是的可微函数，下面来求,使也满足 ()
由此知
下证与无关即可．
所以左边与无关．
积分得
所以
从而，原方程的通解为
为任意常数．
例7:
解：由题意得到，,由得到，原方程是一个恰当方程；
下面求一个，由，得
，两边对y求偏导得到，
得到，有，故，由，得到
.
5．积分因子
恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．
如果存在连续可微函数，使得
为一恰当微分方程，即存在函数，使
，
则称为方程的积分因子； 积分因子不唯一[2].
函数为积分因子的充要条件是
即 ．
假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为．同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程()的一个积分因子为[3].
例8：求解方程
解：这里方程不是恰当的。因为只与
有关，故方程有只与的积分因子
以乘方程两边，得到
或者写成
因而通解为