文档介绍：函数最值求法
.判别式法
若函数y = f(x)可化成一个系数含有y的关于x的二次方程：a(y)x2 + b(y)x + c(y) = 0。在 a(y)丰0时，由于x,y为实数，则有△ = b2(y)-4a(y)c(y) n0，由此可以的最小值为
解：由已知条件得 a = lg(iy-1 + z),b = lg(yz +1 -1), c = lg[(iz)-1 + y]
设 xy-1 + z, yz +1-1,(lz)-1 + y 中的最小数为 A，则 m= lg A
由已知条件知，1，>，z e R +,于是
A2 > (町-1 + z)[(iz)-1 + y] = [(yzH + yz] + (i +1t) > 2 + 2 = 4
所以，A>2，且当1 = y = z =1时，A = 2,故A的最小值为2，从而m的最小值为坨2
注:在用均值不等式求函数的最值时，往往需要配合一定的变形技巧，才可以把问题转化成求不等式的问题。
99
例设0<9〈兀，则s1n2(1+ cos,)的最大值是.
9
解：由0<9〈兀，有siny > 0
二 2sin 9 cos2 9
c 9 9
又Q sin 2 (1+ cos 2)
二北泮口22
C0S2 — C0S2 一
+ C0S2 — + C0S2 一
2)3
4 <3
~9~
9 9 9 c
其中当2sin2 = cos2时,上式等号成立,即9 = 2arccot%2时成立澈sin (1+ c0s9)的最大
4 <3 值为~g~
.换元法
用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易,化陌生为熟悉，从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。
其中a, b为不相等的正常数，求x+y的最小值。
a b
例正数1, y满足一+ - =1, x y
a u b v
解：令——二 ,——二 ,u, v > 0
x u + v y u + v
a (u + v) b (u + v) 则 x+y = +
av
当且仅当一二
u
u bu
=a + b + 竺 + 物 > a + b +2\yb = (a + , b) u v
・（x+y）= 般+）
min
例实数x, y适合条件1« x2 + y2 « 2，则函数2x2 + 3xy + 2y2的值域是
解：由已知可设，x = kcos0, y = ksin0，其中1 ＜ k ＜ J2，0 g
3， .八
则 s = 2x2 + 3xy + 2y2 = 2k2 cos2 0 + 3k2 sin 0 cos 0 + 2k2sin20 = 2k2 + — k2 sin 20
兀兀
当 k =42，sin20 = 1，即0 = ,x = y = 1 时，s = 7 ；当 k = 1，sin20 =-1，即0 = — —,
4 max 4
1c c c 1 r
x =亏，y = _ F 时，s
min=—.故2 x2+3 xy+2 y2 的值域是—，7
.几何法
某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数
表达式，再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义，我们可以将函数分为以下几种：
可视为直线斜率的函数的最值
（）%1 - x2+1
例通求函数”x片一^的最小值。
解：令百—则于（x” g（x，y）二遇且x2+y2=1G ＞。），于是问题转化为:
当点P（x，y）在上半个单位圆x2+y2=1（y ＞。）上运动时，求 A （―2，—1）与 P （x，y ）
的连线AP的
斜率的最值（如图）.显然，当点
P与占
B (1，。)
重合时，直线AP的斜率最小,
此时鼠:3 .当直线AP与上半个单位圆x2 + y2 =1（y ＞。）相切时，
直线AP的斜率最大.
设KAP = K,则直线AP的方程为y+1=K （x+2）
Q直线A尸与上半个单位圆举+>2 =l(y20)相切
解得长=0(舍去)或长=耳
综上可得，直线AP的斜率的最值为：K =K =% , K =K min AB J max AP
1/G)] =|，[/G)]
min J max J
可视为距离的函数的最值
现求其最大值.
由归山一阿|目4冏知，当?在的延长线上尸‘处时，/(%)取得最大值忆目
可视为曲线截距的函数的最值
例求函数 > = sin〃cos〃 + sini/ + cosK 的最大