文档介绍：关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论
作者信息：通信工程 201201916005 雷志坤
摘要
本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而，在我们遇到相关问题时，能系统、关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论
作者信息：通信工程 201201916005 雷志坤
摘要
本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。
关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法
问题的提出
在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。
方法的发现及其证明
首先，引入拉格朗日乘数法步骤：
、作辅助函数 F(x,y,zA)=f(x,y,z)+入奴x,y,z)
、根据方程组
F = f +九申=0
x x x
F = f +九申=0
< y y y
F = f +九申=0
z z z
F.=申(x,y, z) = 0
l入
解出可能极值点(xO,yO,zO)以及入
、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点
现给出方法发现过程：
在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。
例如：
题目1：
求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 xA2+yA2+zA2=5RA2 上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当 a>0,b>0,c>0 时，恒有
a + b + c、
abc3 < 27( )5)
(辅导教程P250，)
在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为：
F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(xA2+yA2+zA2-5RA2)
1
F = — + 2 九 x = 0
x x
F = — + 2 九 y = 0
< y y
3
F = — + 2 九 z = 0
z z
= x2 + y 2 + z2 -5 R 2
我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A、Fx=O,Fy=O,Fz=O B、F入=0。可以这样想：A部分用以求解x,y,z之间的关系， B部分用以给x,y,z定值。所以，求解该方程组的关键在于A部分的求解。现在剔出A部分观察分析：
F = — + 2 九 x = 0
x x
< F = 1 + 2 九 y = 0 n y y
3
F = + 2 九 z = 0
、z z
F = 1 + 2 九 x 2 = 0
x
< F = 1 + 2 九 y 2 = 0 y
F = 3 + 2 九 z 2 = 0
z
可以发现上述方程组很有规律。即x与y地位对等，而x八;'3 y分别与z地位对等。
怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0