文档介绍：邢台学院物理系
自动控制理论》
课程设计报告书
设计题目： 根轨迹法分析RLC电路性能指标
专 业： 自动化
班 级：
学生姓名：
学 号:
指导教师:
2012 年。闭环传递函数为：
闭环特征方程为：
S2 | 2s-| K* = 0
特征根为：
Ai = — 1 I ,
当系统参数K * （或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况
疋、盂=。〜汨时上囲系统飽特征棍
K
0
0
0
-.2
■-
：
-
-'
-1
-1-
2
1
-1-4 ：
-1-J
5
-1+铁
-l-j2
:
OO
CO
一 1+仟
-1沪
利用计算结果在S平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K* （或K） 从零变化到无穷大时闭环极点在 S 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如下图所示。 图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K * （或K）增大时两条根轨迹移动的 方向。
往往只需要知道根轨迹的粗略形状。由相角条
根轨迹绘制规则
件和幅值条件所导出的8条规则，为粗略地绘制出根轨迹图提供方便的途径。 根轨迹的分支数等于开环传递函数极点的个数。
根轨迹的始点（相应于K=0）为开环传递函数的极点，根轨迹的终点（相应 于K=8 ）为开环传递函数的有穷零点或无穷远零点。
根轨迹形状对称于坐标系的横轴（实轴）。
实轴上的根轨迹按下述方法确定：将开环传递函数的位于实轴上的极点和零 点由右至左顺序编号，由奇数点至偶数点间的线段为根轨迹。
实轴上两个开环极点或两个开环零点间的根轨迹段上，至少存在一个分离点 或会合点，根轨迹将在这些点产生分岔。
在无穷远处根轨迹的走向可通过画出其渐近线来决定。渐近线的条数等于开 环传递函数的极点数与零点数之差。
根轨迹沿始点的走向由出射角决定，根轨迹到达终点的走向由入射角决定。 根轨迹与虚轴(纵轴)的交点对分析系统的稳定性很重要，其位置和相应的 K 值可利用代数稳定判据来决定。
应用根轨迹法分析系统的性能指标
根轨迹与系统性能
依据根轨迹图(见系统根轨迹图)，就能分析系统性能随参数(如K * )变 化的规律。
稳定性 开环增益从零变到无穷大时，如系统根轨迹图所示的根轨迹全部落在左半 s 平面，因此，当 K>0 时，如图控制系统根所示系统是稳定的；如果系统根轨迹 越过虚轴进入右半 s 平面，则在相应 K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点 处的K值，就是临界开环增益。
稳态性能
由系统根轨迹图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于I型系统, 因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数Kv。
当 r(t)=l(t)时， ess = 0；
当 r(t)=t 时， '■- ~k 7T
动态性能
由系统根轨迹图可见，当 0 < K < ，闭环特征根为实根，系统呈现过阻 尼状态，阶跃响应为单调上升过程；
当 K= 时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍 为单调过程，但响应速度较 0 < K < ；
当 K> 时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应 为振荡衰减过程，且随 K 增加，阻尼比减小，超调量增大，但 ts 基本不变。
上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分 析当系统参数（K）增大时系统动态性能的变化趋势。用解析的方法逐点描画、 绘制系统的根轨迹是很麻烦的。我们希望有简便的图解方法，可以根据已知的开 环零、极点迅速地绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环 零、极点之间的关系。
简化 RLC 电路控制系统的一般结构如下图所示，
相应开环传递函数为，假设
GO)=
K济屮（r）
口爲+1G -刃）
(1)
(2)
因此
(3)
式中，为系统根轨迹增益。对于m个零点、n个极点的开环系统，其开环传
递函数可表示为
(4)
(5)
式中，Zi表示开环零点，Pj表示开环极点。系统闭环传递函数为
①f、= GC) =心 nLiO —讷)— 山)
⑹-1丨g&)"⑶—⑴一心一旳)丨一殆)
由式(5)可见：
⑴闭环零点由前向通路传递函数G(s)的零点和反馈通路传递函数H(s)的极 点组成。对于单位反馈系统H( s)=1，闭环零点就是开环零点。闭环零点不随K * 变化，不必专门讨论之。
⑵闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K *均有关。闭环极点 随K *而变化，所以研究闭环极点随K *的变化规律是必要的。
根轨迹法的任务在于，由已