《有限元分析》课程作业.doc

文档介绍：《有限元分析》课程作业
任课教师:徐亚兰学生姓名:陈新杰学号:********** 班级:1304012 时间:2016-01-05
一、问题描述及分析
问题:如图1所示,有一矩形平板,在右侧受到P=10KN/m的分布力,材料常数为:弹性模量E?1?10Pa;泊松比??1/3;板的厚度为t=;试按平面应力问题利用三角形与矩形单元分别计算各个节点位移及支座反力。 7
图1 平面矩形结构的有限元分析
分析:使用两种方案:一、基于3节点三角形单元的有限元建模,将矩形划分为两个3节点三角形单元;二、基于4节点矩形单元的有限元建模,使用一个4节点矩形单元。利用MATLAB软件计算出各要求量,再将两种方案的计算结果进行比较、分析、得出结论。
二、有限元建模及分析
1、基于3节点三角形单元的有限元建模及分析
(1)结构的离散化与编号
如图2所示,将平面矩形结构分为两个3节点三角形单1m P=10KN/m 1m
元。单元①三个节点的编号为1,2,4,单元②三个节点的编号为3,4,2,各个节点的位置坐标为?xi,yi?,i?1,2,3,4,各个节点的位移(分别沿x方向和y方向)为?ui,vi?,i?1,2,3,4。
y
4
②
① 3
1
(2)各单元的刚度矩阵及刚度方程
2 X 图2 方案一:使用两个3节点三角形单元
单元①有6个节点位移自由度(DOF)。将所有节点上的位移组成一个列阵,记作q(1);同样,将所有节点上的各个力也组成一个列阵,记作F(1),则有
q(1)?(u1,v1,u2,v2,u4,v4)
F(1)?(Fx1,Fy1,Fx2,Fy2,Fx4,Fy4)
同理,对于单元②,有
q(2)?(u3,v3,u4,v4,u2,v2)
F(2)?(Fx3,Fy3,Fx4,Fy4,Fx2,Fy2)

对于单元①,设位移函数
u(x,y)?a0?a1x?a2y??? v(x,y)?b0?b1x?b2y?? (1-1)
由节点条件,在x?xi,y?yi处,有
u(xi,yi)?ui?? i?1,2,4 v(xi,yi)?vi? (1-2)
将式(1-1)代入节点条件式(1-2)中,可求出式(1-1)中待定系数,即
a0?1u22Au4u1x1x2x41y2?(a1u1?a2u2?a3u4) 2Ay4
1y2?(b1u1?b2u2?b3u4) 2Ay4
1u2?(c1u1?c2u2?c3u4) 2Au4u1y1y1 (1-3) a1?1u22Au41x22Ax4x1u1 (1-4) a2? (1-5)
1(a1v1?a2v2?a3v4)(1-6) 2A
1b1?(b1v1?b2v2?b3v4)(1-7) 2A
1b2?(c1v1?c2v2?c3v4)(1-8) 2Ab0?
在式(1-3)~式(1-8)中
A?1x22x4x11y2?(a1?a2?a3) 2y4y1 (1-9)
?y2?x2y4?x4y2?y4??y2?b1???y2?y4 ?y4??x2?c1???x2?x4x4??(1,2,3)a1?x2x4 (1-10)
上式中的符号(1,2,3)表示下标轮换,如1?2,2?3,3?1同时更换。
将单元①各节点的位置坐标x1?0,y1?0,x2?1,y2?0,x4?0,y4?1代入得
a1?1,b1??1,c1??1??a2?0,b2?1,c2?0? a3?0,b3?0,c3?1??
A?1 2
将系数式(1-3)~式(1-8)式代入(1-1)中,重写位移函数,并以节点位移的形式进行表示,有
u(x,y)?N1(x,y)u1?N2(x,y)u2?N4(x,y)u4?? v(x,y)?N1(x,y)v1?N2(x,y)v2?N4(x,y)v4? (1-11) 令Ni?
(2?6)1(ai?bix?ciy),i?1,2,3,则有形状函数矩阵N(x,y) 2A(1)N?N1(x,y)???00N1N200N2N400??1?x?y0x0y??N4??1?x?y0x0?00??y?
(1-12)
位移函数式(1-11)写成矩阵形式,有
(2?6)
u
(1)
0x0y?u(x,y)??1?x?y
(x,y)?????
v(x,y)1?x?y0x0???0
?u1?
???v1?0??u2????y??v2? (1-13)
??u4???v?4??
对于单元②,过程同上,有形状函数矩阵
(x,y)???1?x?y
01?x01?y0?(2N
(2)
?6)