文档介绍：第五章解线性方程组的直接方法
计算方法
——矩阵三角分解法
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本讲内容
一般线性方程组 LU 分解与 PLU 分解
对称正定线性方程组
平方根法--Cholesky 分解
对角占优三对角线性方程组
追赶法
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LU 分解
将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积
矩阵的三角分解
矩阵的 LU 分解
矩阵的 LDR 分解
克洛脱(Crout) 分解
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计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
L  U = A
比较等式两边的第一行得:
u1j = a1j
比较等式两边的第一列得:
比较等式两边的第二行得:
比较等式两边的第二列得:
( j = 1,…, n )
( i = 2,…, n )
( j = 2,…, n )
( i = 3,…, n )
U 的第一行
L 的第一列
U 的第二行
L 的第二列
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计算 LU 分解
第 k 步:此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出
比较等式两边的第 k 行得:
比较等式两边的第 k 列得:
直到第 n 步,便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。
( j = k, …, n )
( i = k+1, …, n )
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LU 分解算法
算法:(LU 分解)
for k = 1 to n
end
j = k, …, n
i = k+1, …, n
Matlab程序参见:
运算量:(n3 - n)/3
为了节省存储空间,通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储),用 A 的上三角部分来存放 U
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PLU 分解
矩阵的 PLU 分解
for k = 1 to n
end
i = k, k+1, …, n
j = 1, 2, …, n
i = k+1, …, n
j = k+1, …, n
Matlab程序:上机练习
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Cholesky 分解
对称正定矩阵的三角分解--Cholesky 分解
定理:设 A 是对称矩阵,若 A 的所有顺序主子式都不为 0,则 A 可唯一分解为
其中 L 为单位下三角阵,D 为对角矩阵
A = LDLT
定理:(Cholesky分解)若 A 对称正定,则 A 可唯一分解为
其中 L 为下三角实矩阵,且对角元素都大于 0
A = LLT
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计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
计算公式
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Cholesky 分解算法
for j = 1 to n
end
i = j +1, …, n
算法:(Cholesky 分解)
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