文档介绍：北京西城区2023期末数学题高三(理)
西城区
2023年高三年级抽样测试
数学试题〔理〕

本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试时间120分钟。

第一卷〔选择题，共40分种；
如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有种。
14．无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，3、21、15是其中的三项，给出以下命题；
①对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；
②对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；
③存在满足条件的数列，使得对任意的N，成立。
其中正确命题为。〔写出所有正确命题的序号〕
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．〔本小题总分值13分〕
函数.
〔1〕求的最小正周期和图象的对称轴方程；
〔2〕求在区间上的最大值和最小值。
16．〔本小题总分值13分〕
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，
PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1
〔1〕证明：MN∥平面PCD；
〔2〕证明：MC⊥BD；
〔3〕求二面角A—PB—D的余弦值。
17．〔本小题总分值13分〕
数列的前项和，数列为等比数列，且满足，
〔1〕求数列，的通项公式；
〔2〕求数列的前项和。
18．〔本小题总分值13分〕
设，函数.
〔1〕假设曲线在处切线的斜率为-1，求的值；
〔2〕求函数的极值点
19．〔本小题总分值14分〕
抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。
〔1〕当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；
〔2〕当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。
20
．〔本小题总分值14分〕
曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，…，过作斜率为的直线，交曲线C于另一点…，其中，
〔1〕求与的关系式；
〔2〕判断与2的大小关系，并证明你的结论；
〔3〕求证：.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每题4分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
C
C
A
D
D
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
9． 10． 11．2 12．
13．24，10 14．①③
三、解答题：〔本大题共6小题，共80分。假设考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分标准给分。〕
15．〔本小题总分值13分〕
解：〔1〕 2分
4分
6分
所以，函数的最小正周期为， 7分
由，，得，，
所以，函数图象的对称轴方程为，， 9分
〔2〕因为，所以 10分
所以≤≤2 11分
所以，在区间上的最大值为2，最小值为 13分
16．〔本小题总分值13分〕
解：〔1〕证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE平面MNE，MENE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD， 2分
所以，MN∥平面PCD 3分
〔2〕证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，
射线DA，DC，DP分别为
轴、轴、轴
正半轴建立空间直角坐标系 4分
那么D〔0，0，0〕，A〔，0，0〕，
B〔，1，0〕〔0，1，0〕，
P〔0，0，〕 6分
所以〔，0，〕，， 7分
∵·=0，所以MC⊥BD 8分
〔3〕解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD， 9分
由，所以平面PBD的法向量 10分
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB， 11分
所以平面PAB的法向量〔-，0，〕 12分
设二面角A—PB—D的平