文档介绍：有限元分析及应用
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第一章有限元法简介
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有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个结点相互连接，然后根据变形协调条件综形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。
有限元方法所处理的对象：任意变形体
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(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
量
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目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变形体）
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弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽
象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述；
物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性；
物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；
线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状；
小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
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基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如，i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：，j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
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Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用：
对于方程组
按一般的写法，可写为
若用指标记法：
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
（2-1）
（2-2）
（2-3）
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克罗内克符号
在笛卡尔直角坐标系下，由
表示的Kronecker
(克罗内克)符号定义为
亦即
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那么，矩阵
=
是单位矩阵。
根据上述定义，可以推出下列关系
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弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。
弹性力学的基本方法
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从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。
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空间问题的基本方程
dy
dx
dz
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3D情形下的力学基本变量
将正应力和正应变简写成
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a’
b
b’
a
a’
d
d’
c
c’
xy
xy
yx
yx
yz
yz
zy
zy
zx
zx
xz
xz
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由力平衡条件
有：
化简得到
平衡微分方程
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平衡微分方程的矩阵形式为
其中，
是微分算子
式中，b是体积力向量，
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由力矩平衡条件
有：
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
略去微量项，得
剪切力互等定律
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二维问题：平衡微分方程
剪切力互等定律
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应力边界条件
四面微分体Mabc
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斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中未标出），是四面微分体的高。
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四面微分体的体积为
假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐标轴上的投影分别为
体积力分量为X、Y、Z。
设斜微分面的面积为dA，则其