文档介绍：目录
njdx南京大学(2007)
sdsfdx首都师范大学(2001,2002,2003,2004)
whdx武汉大学(2002,2003,2004,2005,2006)
zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)
zjdx浙江大学(2003,2005,2006)
zqdx重庆大学(2002,2003,2004,2005,2006)
zsdx中山大学(1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,
2006,2007,2008(1),2008(2),2009(1),2009(2),2009(3))
南京大学
2007年
(1) 设是有理数域,则也是数域,其中。
(2) 设是数域上的多项式,,如果是的三阶导数的重根,并且,则是的重根。
(3) 设,则在有理数域上不可约。
(4) 设都是整系数多项式,是有理系数多项式并且它们满足,则也是整系数多项式。
(5) 级方阵可逆当且仅当的伴随矩阵可逆。
(6) 设于为两个维向量组,若可由线性表出且,则线性无关。
(7) 任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。
(8) 设为正定矩阵,则在的所有元素中,绝对值最大者必在的主对角线上。
(9) 设是数域上有限维线性空间的子空间,并且维维维,则。
(10) 设是维线性空间上的线性变换,是的一组基,如果是单射,则也是的一组基。
(1) 设,则中的系数为,常数项等于。
(2) 设实二次型,则的矩阵为,符号差为。
(3) 实二次型是正定二次型当且仅当满足条件。
(4) 设4级数字矩阵的最小多项式为,则的全部不变因子为,的特征多项式为。
(5) 设5级数字矩阵的特征多项式为,最小多项式为,则的全部行列式因子为,的全部初等因子为。
(6) 设三维欧几里得空间中一组基的度量矩阵为,且,则的长度。
,,,,
(1) 求向量组的秩;
(2) 求向量组的一个极大线性无关组;
(3) 求向量组中其余向量表为极大线性无关组的线性组合。
,把分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
,都是多项式,并且
证明。
,为矩阵,是级单位矩阵,若秩,则秩,其中表示的转置。
,是级实矩阵并且0不是的特征值,证明。
,求证
(1) 1是的一个特征值;
(2) 的特征多项式可表示为,其中是某个实数;
(3) 若的特征值全为实数并且,则的转置,其中是3级单位矩阵。
首都师范大学
2001年
,但其中任意两个都不互素,证明线性无关。
对任何都有解的充分必要条件是系数行列式
,的所有特征值都小于,的所有特征值都小于,则矩阵的所有特征值小于。
。
,是阶单位矩阵,,和分别是线性方程组和的解空间,则,其中是所有维列向量所成的向量空间。
,已知属于特征值1的特征向量是
(1) 求属于特征值的特征向量;
(2) 求矩阵。
,且是数域上非零多项式的根,令
证明在中存在多项式,使得对任一,都有,且在数域上不可约。
2002年
,证明如果对任意多项式,都有或,则必为上的不可约多项式。
,,令。
(1) 证明是的一个子空间;
(2) 求;
(3) 求的维数和一组基。
,为中一矩阵,定义的变换。证明
(1) 是的一个线性变换;
(2) 对中任意的都有。
,求。
,为阶方阵,试给出向量组线性无关的充分必要条件,并证明你的结论。
,证明存在正交矩阵,使得的充分必要条件是与有相同的特征多项式。
,如果。设与都是线性空间的幂等线性变换,证明是幂等变换的充分必要条件是。
,是的线性变换,如果对的任意不变子空间(即),存在的不变子空间满足,则称是完全可约的,证明是完全可约的当且仅当有由特征向量组成的基。
2003年
,证明
,并将多项式在实数域上分解为不可约多项式的乘积。
,已知矩阵的列向量是一齐次线性方程组的基础解系,证明矩阵的列向