文档介绍：目录 njdx 南京大学(2007) sdsfdx 首都师范大学(2001 ,2002 ,2003 ,2004) whdx 武汉大学(2002 ,2003 ,2004 ,2005 ,2006) zgkxy 中国科学院(1996 ,1997 ,2003) zjdx 浙江大学(2003 ,2005 ,2006) zqdx 重庆大学(2002 ,2003 ,2004 ,2005 ,2006) zsdx 中山大学(1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005, 2006,2007,2008(1),2008(2),2009(1),2009(2),2009(3)) 2 南京大学 2007 年 (1) 设Q 是有理数域,则},|{QiP???????也是数域,其中 1??i 。(2) 设)(xf 是数域 P 上的多项式,Pa?,如果 a 是)(xf 的三阶导数)( '''xf 的 k 重根)1(?k ,并且 0)(?af ,则 a 是)(xf 的3?k 重根。(3) 设34)( 4???xxxf ,则)(xf 在有理数域上不可约。(4) 设)( ),(xgxf 都是整系数多项式, )(xh 是有理系数多项式并且它们满足)()()(xhxgxf?,则)(xh 也是整系数多项式。(5))2(?nn 级方阵 A 可逆当且仅当 A 的伴随矩阵?A 可逆。(6) 设 r???,,, 21?于 s???,,, 21?为两个 n 维向量组,若 r???,,, 21?可由 s???,,, 21?线性表出且 sr?,则 r???,,, 21?线性无关。(7) 任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。(8) 设)( ijaA?为正定矩阵,则在 A 的所有元素中,绝对值最大者必在 A 的主对角线上。(9) 设 21,VV 是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间,并且维?)( 1V 维?)( 2V 维)(V ,则 21VVV??。(10) 设A 是n 维线性空间 V 上的线性变换, n???,,, 21?是V 的一组基,如果A 是单射,则)(, ),( ),( 21nAAA????也是 V 的一组基。 (1) 设4598 0 4372 0 0020 108 54 32 1)(?????x x x xxf , 则)(xf 中 3x 的系数为,常数项等于。 3 (2) 设实二次型??????????????????????? 3 2 1321321323 000 121),,(x x xxxxxxxf ,则),,( 321xxxf 的矩阵为,符号差为。(3) 实二次型 323121 23 22 2132122425),,(xxxxxxxxxxxxf????????是正定二次型当且仅当?满足条件。(4) 设4 级数字矩阵 A 的最小多项式为 3)5(??,则 A 的全部不变因子为,A 的特征多项式为。(5) 设5 级数字矩阵 A 的特征多项式为 32)2()1(????,最小多项式为 2)2 )(1(????,则 A 的全部行列式因子为,A 的全部初等因子为。(6) 设三维欧几里得空间 V 中一组基 321,,???的度量矩阵为????????????101 040 102 , 且 3212???????,则?的长度?||?。 )4,0,2,1( 1???,)1,3,0,5( 2??,)2,4,1,3( 3????,)9,5,4,2( 4????, )7,1,3,1( 5???(1) 求向量组 54321,,,,?????的秩; (2) 求向量组 54321,,,,?????的一个极大线性无关组; (3) 求向量组 54321,,,,?????中其余向量表为极大线性无关组的线性组合。 ???????????122 310 211A ,把 A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。 n 为正整数, )(, ),( ),( 21xfxfxf n?都是多项式,并且)()()(|1 1112 11 21????????????? nn nnn nnxfxx xfxfxxxx??证明)()()(|)1( 21xfxfxfx n n??。 4 6 .设 A 为n 级可逆矩阵, VU, 为mn?矩阵, mE 是m 级单位矩阵,若秩 mEUAV m???)( 1',则秩 n UV A??)( ',其中'V 表示 V 的转置。 7 .设 A 是n 级正定矩阵, B 是n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值,证明|||| 'ABBA??。 A 是三级正交矩阵并且 1||?A ,求证(1) 1是A 的一个特征值; (2)A 的特征多项式)(?f 可表示为 1)( 23?