文档介绍：mx+ ex + kx = 0
的初始响应为:
x + w g x
x(t)= e~wn[x cos(w t)+ o n o sm(w t)]
0 d w d
d
的脉冲响应为:
h (t)=
即:
e Wnt
sin(
u (x,t) = c + ct, (n = 0);
0 0 1
u (x,t) = B，cos(豎x)sin(〃皿 t +9 ), (n = 1,2,3,・・・)
n n l l n
任意初始条件下系统的响应为：
u(x,t) = A + B t + 工 B cos(巴 x)sin(
0 0 * n=1
cos(罕 x) A sin(
也t) + B cos(豎t) l l
=A + B t + 工
0 0
n=1
§，在t=0时刻释放压力，求t>0时刻杆的响应。
当# = 0时，杆上任一点課处的位移是
（无变形狀态） D
O!
杆中任一点的初始速度为：
2\ lL-2x5 cos
L 0 ~^L~
nnx - dx =
[1 - (-1) n ]
n 2兀2
85
K2
;B3
85
25k 2
B — B — B —・・・・・=0 246
人 2 “c n兀x』八
A — i 0 • cos dx — 0 n n 兀 a o L
杆的响应u(x，t)为:
于 nnx 口
u(x,t)—工 cos B
L n
n—1
cos
n^a
I
88 磁血 1
— cos — cos — t + _ cos 兀 2 L L 9
3nx
cos
L
1 5nx 5na
cos cos t
15 L L

根据材料力学知识，可知扭矩M与单位长度转角e，之间有下列关系：
其中GJd是截面的抗扭刚度，G是剪切模量，Jd是截面的扭
dd
转常数。对于直径为d的圆轴
边长为a和b的矩形截面：

微段总扭矩为:
。込卫W窖2血
微段的角加速度为：
歹「3昭3”）
微段转动惯量为
J J r环 dh?
其中p为微段的密度（单位体积质量）；JR是截面的极惯性矩，对于直径为R的圆截面来说，
对于边长为O与为的矩形截面来说，
Jr =立血(aa + 6Z)
对圆截面，即：
0^(x9o_^e(xft)
^-3? c ~^?一
（1）两端固定的轴
nna mr
en =心血（升伽（号^ +孔）
（» = 1,2,3*…）
（2）两端自由的轴
(n = 1 23* …)
9„ = Ecos〈竽広）或□（竽+ 何）
补充：n=0 时，Q=0, 0 =c+c t
0 n O 1
梁的弯曲振动
微段横向加速度：瞬3向下为⑥
旳密。矗=一（嗣）■护务4
需慮是该徽段的质量,根撮材料力学公式：
艺盛4=_棘
3x2
+烦警蛰=0
对均匀梁可进一步简化为：
dt 2 dx 4
勿 2 (x,t) = a 2 勿 4 (x,t)
其中a =、jEJm, m = pA为梁线密度。
设
；(乂丿)=Y(j7)* T(t)
a2 d4K 1 d2T
Y而=_ T乔
T（£） = Cjsinfwi 十护）设
YQr) = A^m(kj：) + 5cos(^) + Csh (民)+ Uch(^) 其中双曲函数
sh(b) = (ekx — e -肛)/2
ch(kx) = (ekx + e -k)/2
其中A, B, C, D, e, Q六个待定常数，由梁边界条件和初始条件确定。
梁的主振动为：
[1] 两端简支梁的横向振动
边界条件是位移和弯矩等于零。
x=0,Y(0)=Y''(0)=0;
]x=l, Y(l)=Y''(l)=0・
频率方程 sin(kl)=O，kl = n , (n=l,2,3，…)
(n = 1,2,3, ・・・)
固有频率3n = akn = 12 2彳~pA9
主振型 Y (x) = A sin(k x) = A sin(n x), (n = 1,2,3,・・・)
n n n n l
任意初始条件的自由振动为各阶主振动叠加得到：
g n兀
y(x, t)=》 A sin( x)sin(o t + 9 )
n l n
n=1
[2]