文档介绍：1
一、认真查阅参考文献，确定方向、题目、提纲。
二、时间进度
1月上旬—1月中旬提交大致选题方向;
1月中旬—2月下旬收集资料，最终确定选题;
2月下旬—3月上旬确定论文题目，准备开题材料，完成开题报A可逆,即A是非奇异矩阵 ,.
<2>QR算法,该方法是计算一般矩阵(中小型矩阵)全部特征值集合的最有效的方法之一. 对于一般矩阵 (或对称矩阵),首先用Householder方法将A约化为上Hessenberg阵B（或对称三对角矩阵），然后再用QR方法计算矩阵B的全部特征值。QR方法一般步骤如下：
设,且对A进行QR分解，即A=QR, R为上三角阵，Q为正交阵，也即作矩阵
求得后，将进行QR分解：
作矩阵：
QR算法，就是利用矩阵的QR分解，按上述正交相似变换构造矩阵序列{}的过程，然后确定其特征值，虽然有效，但计算量还是比较大。
例4 判断矩阵A是否非奇异矩阵
6
解：我们采用矩阵特征值判别法中的QR算法
令则有
 
 
 
据公式得知

显然，
计算
再令则有：

故

显然计算
7
依此类推，继续重复迭代至第六步有：

故矩阵有两个特征值：
det（A）=
故矩阵A 是非奇异矩阵
<3>带原点位移的幂法
定理3（Gerschgorin圆盘定理）：
设，则A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
  （)
即A的所有特征值都在复平面上n个圆盘的并集中
证明：设为A的任一特征值，X为对应的特征向量，即
记X=
考虑式的第个方程，即
于是说明属于第个圆盘中
于是，给定矩阵A，我们可以据圆盘定理先估计A的特征值范围，然后在其范围内选接近于0的数，引进矩阵B=A-I, 对B应用幂法，
即设
对于迭代：

规范化：
最后：
例5 判定矩阵A是否为非奇异矩阵
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解：因为A为对称矩阵，所以A的特征值均为实数，由盖尔圆盘定理，A的特征值位于下述某个圆盘之中，即

或A所有的特征值必满足，即A所有特征值，即
det（A）=
故矩阵A 非奇异
当然，若位于 (-a,a) (a>0) 之间时，需选择p,引进带原点位移的幂法来确定A的最接近0的特征值，然后确定矩阵是否非奇异。由于p的随意选择性，及计算机舍入误差的干扰，故由此得到的结论也不是完全可靠。

定理4：设，且有某种矩阵范数使得||A||<1，则矩阵I-A可逆。
证明（反证法）：若I-A不可逆，则det（I-A）=0,故是A的特征值，从而，这与<1，故I-A可逆
于是，对于任意n×n矩阵B，我们可以先对其进行分解，即B=I-A,然后判断是否小于1，若<1据定理4知，B是可逆的，即B为非奇异矩阵。
例6：判定矩阵B为非奇异矩阵，其中
 
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 解：
 
因为=3/4<1,故据定理4知，矩阵B可逆，即矩阵B是非奇异矩阵
三、小结
在上述三种判别方法中，一般地，矩阵行列式判别法适用于简单矩阵或大一点的稀疏矩阵，除此之外，det（A）的值并不是一个很好的判断矩阵是否非奇异的标准，因为当一个矩阵非常庞大时，运用列主元-高斯消去法的工作量非常大，而且由于计算机使用有限数字系统，舍入误差不能避免，因此不能完全凭借有计算方法所得出的det（A）的值来确定矩阵确实是奇异的或非奇异的。
矩阵特征值判别方法中，矩阵特征多项式法，类似于矩阵行列式判别法，而且消元过程完成之后，还需要解一个一元n次方程，计算量较矩阵行列式判别法增大，所以无论是大型矩阵还是小型矩阵都避免使用此方法来判别矩阵的非奇异性。QR算法是计算矩阵全部特征值的最有效方法之一，而且其算法适用于计算机，但当矩阵比较大时，其计算量非常庞大，所以若是仅仅为了判断一个矩阵是否非奇异用此番方法，不免有点复杂化了。带原点位移的幂法利用圆盘定理预先估计矩阵的特征值范围和幂法的迭代性，大大减小了QR算法的计算量。当矩阵特征值范围为a<<b,a,b同号时，