文档介绍：《连续介质力学》例题和习题
第一张、矢量和张量分析
矢量与张量代数
矢量代数
令
则有

又因为

则

习题
1、证明下列恒等式:
1)
2)
2、请判断下列矢量是否线性无关?
.
其中单位为正交的基矢量。
*补充知识:矩阵及矩阵运算
1、定义:

i表示行,j表示列;m和n相等表示为方阵,称为m(或n)阶矩阵。
表示对角元素。如果一个矩阵只有不为零,则为对角阵。对角元素为1的对角阵称为单位矩阵,如果是3阶单位矩阵,
则可写为:
而对角阵可取为:
矩阵的迹:一个矩阵的对角元素之和,可称为矩阵的迹。
如果一个矩阵只有一行或者一列元素,则可用一个下标表示,例如:
其可用矢量分量表示。
2、矩阵的运算:
(1)、矩阵求和
定义:两个矩阵和,即
i=1,2,……m。j=1,2,……n

则两矩阵之和为:
标量乘积为:
矩阵之和满足:
a、
b、
c、
d、
e、
f、
(2)、矩阵的转置,对称与反对称矩阵
令是一个的矩阵,且

例1、令,,则和分别为

对于和,有1);
2)
3)对于反对称阵,其中。

(3)、矩阵的乘积,
令是阶矩阵,是阶矩阵,则矩阵乘积可写成:
(i=1,2,3……m;j=1,2,3……p)
注意:1)如果是一个的矩阵,是一个的矩阵,则只有在n=p时成立,同样,只有在q=m是才成立。
2) 和当且仅当和是同阶方阵是成立。
3)和即使都成立,一般情况下两者也不想等,,表示矩阵的乘积不满足交换律。
4) 如果是方阵,则,
5);
6)
例2、令;,求,和。
解: ,
则
而
(4)、矩阵的逆和行列式的值

先讨论矩阵的行列式的值:令为一个的矩阵,则该矩行列式的值定义为:

其中为去掉第i行和第1列的剩余行列式。
如果,则
2)令,则其行列式值为:

另外,矩阵的行列式的值也可以表示为:

矩阵的行列式的值具有以下性质:
a,
b、
c、(是常数,n为的阶次)
d、如果为的某一列或某一行乘以一个常数而得,则;
e、如果为中任两列(或两行)交换而得,则;
f、如果为两行(或两列)矩阵,且其中一行(或一列)由另一行(或一列)乘以一个常数而得,则
余子式(minor):在n阶行列式中,把元素所在的第i行和第j列划去后留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式,记为。
行列式的代数余子式(confactor):令为行列式关于元素的代数余子式。
例如:如果,则元素的余子式的余子式为:
行列式关于关于元素的代数余子式则为:

利用余子式和代数余子式的定义,矩阵的行列式的值可表示为:

则是关于的代数余子式。
伴随矩阵(adjunct coradjoint of a matrix):把矩阵换成对应的余子
式构成的新的矩阵的转置,称为的伴随矩阵。
矩阵的逆:
如果是一个矩阵,而是另一个的矩阵,并且有成立,则称为的逆。
如果和都是的逆,则有:
并且有:
可见: ,则矩阵的逆是唯一的。
记的逆为。如果一个矩阵没有逆矩阵,则可以称其为奇异矩阵。对非奇异矩阵,有
逆矩阵可以通过的伴随矩阵来求,即
例2、求的逆矩阵。
解:首先计算其行列式的值:
,则的逆可求。
有因为关于的余子式
,,
则关于的代数余子式为:

同理可得关于和的代数余子式,则的伴随矩阵可以写为:
则矩阵的逆矩阵
可以验证,
习题:
试判断是否有逆矩阵;如有,请求出其逆阵
二、张量代数
例1、令是一个张量,其使得矢量,经其变换后变为,,假定一个矢量,求。
解:利用张量的线性性质,有:
=
例2、假定一个张量将基矢变换成以下形式:

那么该张量将变换成什么样的结果?
解:由对基矢量的变换张量可知的矩阵表示为:

则有:
即
例3、利用张量的变换定义证明:
若为一个二阶张量,则为一四阶张量;
若为一矢量,则对任意坐标系满足的为一矢量。
证明:1)因为为一二阶张量,由张量的变换定义有:

则有
令,则有
即为一四阶张量。
3)、由于和分别是矢量和张量,则有

由此可得: (*)
又因为对于任意坐标系都成立,
则有
由(*)式可得:

等式两边同时乘以可得:

又因为,则
或
所以
由于上式对任一张量都成立,则有
即
这即是矢量的定义所满足的方程变换,因此是一个矢量的分量。
习题
证明:1)如果和为任意二阶张量和的分量,且对任意坐标系都成立,则为一四阶