文档介绍：数学物理方法
第七章
数学物理定解问题
数学物理定解问题
数学物理方程的导出
数学物理方程的分类
定解条件
达朗贝尔公式
本章小结
数学物理方程的导出
输运方程
一维热传导方程
推广
波动方程
均匀弦的微小横振动方程
推广
稳定场方程
输运方程
一维热传导
问题:一根长为L的均匀导热细杆,侧面绝热,内部无热源。其热传导系数为k,比热为c,线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。
分析:设杆长方向为x轴,考虑杆上从x到x+dx的一段(代表),其质量为dm= ρdx,热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向,强度为q(x,t),温度分布为 u(x,t),则
由能量守恒定律
cdmdu=dQ
=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt
=-qx(x,t)dxdt
于是有
c ρut = -qx
由热传导定律
q(x,t) = -k ux(x,t)
代入前面的式子,得到
c ρut = k uxx
ut = a2 uxx
输运方程
推广1
情况:内部有热源(或侧面不绝热)
分析:设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t),代表段的吸热为Fdxdt
方程:c ρut = k uxx+ F
ut = a2 uxx+ f,f=F/(c ρ)
推广2
情况:细杆不均匀
分析:热传导系数k,比热c 或线密度ρ为x的函数
方程:
输运方程
推广3
情况:扩散问题
分析:浓度→温度u,扩散系数D→热传导系数k,质量守恒→能量守恒,扩散定律→热传导定律
方程:ut = D uxx+ F
ut = a2 uxx+ F
推广4
情况:三维情况
分析:温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程:
波动方程
均匀弦的微小横振动
问题:一根长为L的均匀弹性弦,不计重力,不受外力。其张力为T,线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。
分析:设弦平衡时沿x轴,考虑弦上从x到x+dx的一段(代表),其质量为dm= ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t),则
由牛顿第二定律
dmutt=T2sinα2- T1sinα1
0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1
sinα1 = tanα1 = ux(x,t)
sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1 =T
dmutt=T[ux(x+dx,t)- ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx
utt = a2 uxx
波动方程
推广1
情况:考虑重力或外力
分析:设单位长度所受到的横向外力F(x,t),代表段的受力为Fdx
方程:ρutt = T uxx+ F
utt = a2 uxx+ f,f = F/ρ
推广2
情况:弦的密度不均匀或受到纵向与x有关的力
分析:线密度ρ或张力T为x的函数
方程:
波动方程
推广3
情况:均匀杆的纵振动问题
分析:张力T变成杨氏模量Y
方程: ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广4
情况:三维情况
分析:位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程:
稳定场方程
概念
产生:
在演化问题中,有时会到达一个不随时间变化的稳定状态,对应的方程称为稳定场方程。
形式:
在对应的演化方程中取消时间变量t,对t的导数为零。
分类
无外界作用情况
拉普拉斯方程: Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况
泊松方程:Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程: Δu = -ρ/ε
稳定温度分布: Δu = - F/k