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机械臂运动学基础
1、机械臂的运动学模型
机械臂运动学研究的是机械臂运动,而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂机械臂运动学基础
1、机械臂的运动学模型
机械臂运动学研究的是机械臂运动,而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置,速
度和加速度。机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容,特别是各个关节彼此
之间的关系以及随时间变化规律。
典型的机械臂由一些串行连接的关节和连杆组成。每个关节具有一个自由度,平移或旋转。
对于具有n个关节的机械臂,关节的编号从1到n,有n+1个连杆,编号从0到n。连杆
0是机械臂的基础,一般是固定的,连杆n上带有末端执行器。关节i连接连杆i和连杆i-1。
一个连杆可以被视为一个刚体,确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。一个连
杆可以用两个参数描述,连杆长度和连杆扭转,这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空
间的相对位置。而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义,一般选择为0。一个关节用两
个参数描述,一是连杆的偏移,是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距。离二是关
节角度,指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。
为了便于描述的每一个关节的位置,我们在每一个关节设置一个坐标系,对于一个关节链,
Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。对于转动关
节i,规定它的转动平行于坐标轴z,坐标轴x对准从z到z的法线方向,如果z与
i-1i-1i-1ii-1
z相交,则x取z×z的方向。连杆,关节参数概括如下:
ii-1i−1i
沿着x轴从z和z轴之间的距离;
连杆长度aiii-1i
从z轴到zi轴相对x轴夹角;
连杆扭转αii-1i-1
从坐标系i-1的原点沿着z轴到x轴的距离;
连杆偏移dii-1i
x轴和x轴之间关于z轴的夹角。
关节角度θii-1ii-1
1对于一个转动关节θ是关节变量,d是常数。而移动关节d是可变的,θ是恒定的。为了
iiii
统一,表示为
转动关节
qi
id移动关节
i
运用Denavit-Hartenberg(DH)方法,可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为
一个4x4的齐次变换矩阵
cossincossinsinacos
iiiiiii
sincoscoscossinasin
i1Aiiiiiii
i0sincosd
iii
0001
上式表示出了坐标系i相对于坐标系i-1的关系。即
0T0Ti1A
ii1i
其中0T表示坐标系i相对于世界坐标系0的位置与姿态,简称位姿。
i
2、正向和反向运动学
对于一个n-轴刚性连接的机械臂,正向运动学的解给出的是最后一个连杆坐标系的位置和
姿态。重复利用上式,得到
0T0A1An1AK(q)
n12n
机械臂末端位姿在笛卡尔坐标系中有6个自由度,3个平移,3个旋转。所以,一般来说具
有6个自由度的机械臂可以使末端实现任意的位姿。
总的机械臂变换0T一般简写为T,对6个自由度的机械臂简写为T。对于任意的机械臂,
nn6
无论其它有多少个关节,具有什么结构,正向运动学解都是可以得到的。
在机械臂的路径规划中,用到的是反向运动学的解qK1(0T),它给出了特定的末端位
n
姿对应的机械臂的关节角度。一般来说,反向运动学的解不是唯一的,对具有某种结构的机
械臂,封闭解可能不存在。
2对于6自由度的机器人而言,运动学逆解非常复杂,一般没有封闭解。只有在某些特殊情
况下才可能得到封闭解。不过,大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一(Pieper
准则)
(1)三个相邻关节轴交于一点
(2)三个相邻关节轴相互平行
如果机械臂多于6个关节,称关节为冗余的,这时解是欠定的。如果对于机械臂某个特别
的位姿,解不存在,称这个位姿为奇异位姿。机械臂的奇异性可能是由于机械臂中某些坐标
轴的重合,或位置不能达到引起的。
机械臂的奇异位姿分为两类:
(1)边界奇异位姿,当机械臂的关节全部展开或折起时,使得末端处于操作空间的边界或边
界附近,雅克比矩奇异,阵机械臂的运动受到物理结构的约束,这时机械臂的奇异位姿称为
边界奇异位姿。
(2)内部奇异位姿,两个或两个以上的关节轴线重合时,机械臂各个关节的运动相互抵消,
不产生操作运动,这时机械臂的奇异位姿称为内部奇异位姿。
机械臂运动学逆解的方法可以分为两类:封闭解和数值解、在进