文档介绍：复杂性是由系统定义的,但不同的系统复杂性又是由系统的
线性或非线性关系定义的。相对而言,线性系统要较非线性系统
简单,反之,非线性系统要比线性系统复杂。非线性和线性的关
系不是平列的,线性关系只是非线性的特例。
线性和非线性最初只是在数学中被发现的。为了认识一个对
象的性质,人们总是把该对象置于一定的已知关系中,即将其和
其它已知的性质联系起来,这便是建立方程或函数关系。这是人
类认识未知世界的最基本的方法。很显然,如果方程或函数中仅
有一个未知项,且未知项的结构很简单,比如只有一次方,那么,
这个方程很容易求解。比如,买斤水果花去了元钱,那么平
均一斤是多少钱这样的问题是十分容易解出的。这便是一个线性
方程。当然,这只是一种最简单的线性方程,它具有平均性、等
比例性(知道了斤水果的价格就可以推知斤水果的价格),且
只要求未知项与已知项有一种关系(水果斤和元钱)。如果方
程涉及的是两个一次方的未知项,情况则稍稍复杂了一点,在这
种情况下,如果只知道未知项的一种关系,是很难得出惟一的、确
切一解的。比如,买斤苹果和斤梨花去元钱,你很难从中
得出斤苹果和斤梨到底卖多少钱。要想惟一地、确切地知道
苹果和梨的单价,需要两种关系,且这两种关系具有各自的独立
性,即这两种关系不能化归为一。比如,某人第一次进菜市场时
买斤苹果和斤梨花去元钱,在第二次进菜市场时买斤苹
果和斤梨花去元钱,那么,这里虽然是两个未知项,也有两
种关系,但由于这两种关系具有化归性、不独立性,实际上还是
一种关系,方程仍然得不出惟一的、确切的解。如果某人买斤
苹果和斤梨花去元钱,又知道苹果和梨的价格一样,那么,苹
果和梨多少钱斤就可以惟一的、确切地知道了。这样建立的方
程已不单单是某一个方程,而成了方程组。这里,各关系仍然是
平均的、成比例的,即知道了斤苹果的价格也就可以推知斤
梨的价格。依此类推,考虑未知项是一次的情况,未知项越多
(比如,不仅要考虑苹果和梨,还要考虑橘子等),复杂性也就越
大。类似这样的方程组,反映的就是一种线性的关系(各种水果
之间的单位价格以及各自的单位价格都是成比例的,如斤苹果
的价格对于多少斤梨的价格是成比例的,这一比例在这一方程组
特定的关系中是不变的,或斤苹果的价格和斤苹果的价格间
是存在平均关系的),有确定的解。它的主要困难主要取决于方程
的个数和未知项的个数。如果方程的个数多于或等于未知项的个
数,那么,其未知项可以较为容易地、确切地、惟一地得出,如
果方程的个数少于未知项的个数,则稍稍麻烦一点,但通过克莱
姆( )法则、高斯( )消去法等,也可以
确切地求解。
除此之外,方程的实际发展还有另外一个方向,这就是形成
了所谓的多项式代数,它研究只含一个未知项却有任意次方的方
程。由于二次方程有求解公式,所以,人们曾集中精力寻求高次
方的解。在世纪,人们找到了三次和四次方程的解。到世
纪才最终发现,这样的高次公式是不可能找到的。即对一元高次
方程,是不可能找到显式解的(封闭解)。非线性被发现出来,只
不过人们并没有认识到。也就是说,对这类方程,根本不存在惟
一的、确定的解,它的解是存在的,但不能像写数那样把它写出
来。这个问题是由伽罗华( )解决
的,他为之提出了一个新的数学概念群。
综合两种方向的方程,即一方面具有多元未知项,另一方面,
未知项具有不同的次幂的方程组是真正非线性的,它具有更大的
包容性。它的解更不可能惟一和确定,也不可能用常规数学表达
出来。著名数学家霍金证明,只要考察的是三体问题(二体问题
是牛顿力学的处理对象),得出精确的解已经不可能。也就是说,
对于三元高次方程,想求得精确解已经不太可能。
当然,非线性如果不能求解,那我们面对的还是无效复杂性,
对我们认识复杂性没有什么益处。因此,单单从数学的角度也必
须要对此给予说明。于是,对非线性的解决主要是从两个方面入
手。一个方面是采取近似法,主要是在技巧上借用分形和重整化
群理论,寻找标度律和普适性。此外就是诉诸代数几何的方法,这
一方法代替了传统的消去法,它的核心是放弃了静态的显式解,而
走向了动态的映射解、描述解。从点走向了面,由数走向了“代
数簇”,走向了结构,对解给出了动态的几何图解。即在数学上,
借助计算机实现数值、解析几何图形法并举。目前,已经有了一
些处理这类非线性方程的方法,如特征集法、格罗布
)方法,矩阵广义特征值法等。这对复杂性的认识和处理产生
了重大的影响,它大大改变了人们对复杂性的观念,