文档介绍：利用基本不等式求函数最值
(2)①已知x>0,求f(x)=+3x的最小值;
②已知x<3,求f(x)=+x的最大值.
“配凑法”求最值
例(1)已知x<3,求f(x)=+x的最大值.
(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值;
>1,则a+的最小值是( )
C.
解析: a+=a-1++1
∵a>1,∴a-1>0
∴a-1++1≥2+1=3.
当且仅当a-1=即a=2时取等号.
答案: D
(2)常值代换
这种方法常用于
①“已知ax+by=m(a、b、x、y均为正数),求+的最小值.”
②“已知+=1(a、b、x、y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.
“1”的代换技巧.
(1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值;
变式1:设x>0,y>0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.
,b满足:a+4b=2,则的最小值为.
,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
解析: 由+=1为定值知
xy=12··≤12()2=3.
∴当且仅当=时xy有最大值3.
答案: 3
,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
解析: 由+=1为定值知
xy=12··≤12()2=3.
∴当且仅当=时xy有最大值3.
答案: 3
考点: 基本不等式.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 由题意可得=(a+4b)()=(5++),由基本不等式可得.
解答: 解:∵正数a,b满足a+4b=2,
∴=(a+4b)()
=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=即a=且b=时取等号,
∴所求的最小值为,
故答案为:
注意与此题的对比:已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
,则的最小值是
A. 3
(3)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时,可“利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”.
例“已知a,b为正数,a+b=ab-3,求ab的取值范围”.
分析:可构造出不等式2≤a+b=ab-3,即()2-2-3≥0.
例3 若正数a,b满足ab=a+b+3,求:
(1)ab的取值范围; (2)a+b的取值范围
变式:已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(