文档介绍：行列式的几种常见计算技巧和方法
定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
例1 计算行列式.
解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有项,但由于出现很多的零,,,如果,那么,,同理只须考虑的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有,而,
=.
利用行列式的性质
.
化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
,.
例2 计算行列式.
解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,:化为上三角形.
解:将该行列式第一行的倍分别加到第2,3…()行上去,可得
.
连加法
这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,.
例3 计算行列式.
解: .
滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.
例4 计算行列式.
解:从最后一行开始每行减去上一行,有
.
逐行相加减
对于有些行列式,虽然前行的和全相同,,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.
例5 计算行列式.
解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:
.
降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
按某一行(或列)展开
例6 解行列式.
解:按最后一行展开,得
.
按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下:
,其中是子式对应的代数余子式.
即
,
.
例7 解行列式.
解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得
.
升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.
其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.
例8 解行列式D=.
解:使行列式D变成阶行列式,即
.
再将第一行的倍加到其他各行,得:
D=.
从第二列开始,每列乘以加到第一列,得:
.

有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,,数学归纳法是常用的方法.
例9 计算行列式.
解:用数学归纳法证明.
当时,.
当时,.
猜想,.
由上可知,当,时,结论成立.
假设当时,:.现证当时,结论也成立.
当时,.
将按最后一行展开,得

.
因为
,,
所以
.
这就证明了当时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立.
即:.
递推法
技巧分析:若阶行列式满足关系式
.
则作特征方程
.
若,则特征方程有两个不等根,则.
若,则特征方程有重根,则.
在①②中, A,B均为待定系数,可令求出.
例10 计算行列式.
解:按第一列展开,得
.
即
.
作特征方程
.
解得
.
则
.
当时,;