文档介绍：第三章矩阵
一、本章的基本要求与重点、难点
要求:理解矩阵的有关概念,掌握矩阵的运算和逆矩阵的求法,会解矩阵方程。
重点:矩阵的运算.
难点:逆矩阵的求法、解矩阵方程.
二、本章的方法与结论
方法:用伴随矩阵与初等行变换求逆矩阵,用逆矩阵、初等行变换和分块矩阵解矩阵方程.
结论:矩阵与其伴随矩阵的关系(),逆矩阵的惟一性(),矩阵可逆的的充要条件(),矩阵方程解的存在性和惟一性()。
§ 矩阵的运算
一、矩阵的线性运算
引例:一个公司有3家零售店,第一家原始库存有15台电视机q,10台空调r,9台冰箱s,12台洗衣机t;第二家有18q,14r,8s,7t;第三家有16q,13r,6s,11t;根据第一章§2节矩阵的概念可知,3家零售店的存货量可以用矩阵表示:
为了研究3家零售店的存货量变化和消售情况,首先介绍矩阵的线性运算.
(addition of matrices)
矩阵的负矩阵(negative matrix):由矩阵的所有元素的相反数构成的矩阵,记作.
同型矩阵与的和是一个的矩阵,记为
即由与的对应元素相加而成的同型矩阵.
只有同型矩阵才能相加.
矩阵加法满足下列运算律:
(1);
(2);
(3);
(4).
由矩阵加法和负矩阵的概念,可定义矩阵的减法为
引例中,若公司给它的各零售店发货,发货数量为矩阵,
则新的存货量为
数与矩阵的乘积是一个的矩阵,记为或,规定
称为数与矩阵的数量乘法(scalar multiplication),简称数乘.
数乘满足下列运算律:
(1)
(2) ;
(3) ;
(4) .
引例中,若公司要求各零售店年底对库存四种商品打九折出售,设是打折前的存货价值.
打折后各零售店四种商品的存货价值是多少呢?这是数乘矩阵问题,结果是
.
设矩阵,试求.
解因为,
,
所以.
二、矩阵与矩阵的乘法(multiplication of matrices)
设是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵与的乘积是一个矩阵,记作
其中
由定义知,矩阵乘积的第行第列元素,实际上是的第行元素与的第列对应元素乘积的和. 即
当且仅当的列数等于的行数时,才有意义.
引例中,若四种商品q,r,s,t的价值分别是2000元,1800元,1600元,1400元,则第一家零售店原始库存商品的价值为
=15×2000+10×1800+9×1600+12×1400=79200(元)
用矩阵乘法可记为:
(元)
3家零售店各有原始库存商品价值是多少?并比较九折后的商品价值?这是矩阵乘法问题:
第一列为3家零售店四种商品的库存总价值,第二列为商品九折后的库存总价值;每一行为各零售店打折前后的商品价值,并可比较出商店减少了多少利润.
设分别是和矩阵
计算和.
解
由上例可见,一般,即矩阵乘法不满足交换律.
设矩阵,计算和.
解
:矩阵但有,说明矩阵乘法不满足消去律. 即在一般情况下,由不能得出或的结论;同理,若而,也不能得出的结论.
例如:0,
虽然,但是.
矩阵乘法满足下列运算律:
(1);
(2) (左分配律)
(右分配律);
(3) (为数);
(4).简记为: (为单位矩阵)
.简记为: (为零矩阵).
三、转置矩阵
给出矩阵,我们称矩阵
为的转置矩阵(transpose of matrix),记作.
即
例如:,则
矩阵的转置满足下列运算律:
(1);
(2);
(3);
(4).
运算律(1)、(2)、(3)显然,这里仅证明性质(4).
证明设,, 有
而的第行为的第列为,因此
.
所以,即,于是.
设矩阵,计算
.
解
满足,而
.
可见.
四、方阵的幂及方阵的行列式
设是阶方阵,个的连乘积称为的次幂,记为,即
.
规定:.
方阵的幂有下列运算性质:
(1);
(2).
其中为非负整数。
设、均为阶矩阵,计算.
解.
当时,称与可交换. 只当与可交换时,才有
.
且用归纳法还可进一步证明,当与可交换时,有
.
* 计算,其中为正整数.
解法1 分解法.
令,则,而与可交换,且,
=.
解法2 数学归纳法.
当时,,
当时,,