中学文科数学知识点总结.pdf

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高中数学
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域;②化解函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.
①平移变换
h0,左移h个单位
yf(x)h0,右移|h|个单位yf(xh)
yf(x)k0,上移k个单位yf(x)k
k0,下移|k|个单位
②伸缩变换
yf(x)01,伸yf(x)
1,缩
0A1,缩
yf(x)A1,伸yAf(x)
③对称变换
x轴y轴
yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)
原点直线yx1
yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)
去掉y轴左边图象
yf(x)保留y轴右边图象,并作其关于轴y对称图象yf(|x|)
保留x轴上方图象
yf(x)将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|
(2)识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(3)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,
.
第二章直线与平面的位置关系
、直线、平面之间的位置关系
DC

1平面含义:平面是无限延展的α
2平面的画法及表示AB
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边
画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形:.
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
A
B∈L=>Lαα·
A∈αL
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。AB
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,α·C·
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据αP
·L

1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b=>a∥c
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直
线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
2
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
—、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示:.
aαa∩α=Aa∥α
、平面平行的判定及其性质

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
—、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
、平面垂直的判定及其性质
:.
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,
直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫
做垂足。
L
p
α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
—、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程


1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所
,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k
=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式::.
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,
如果k1=k2,22那么一定有L1∥L2
P1P2x2x2y2y1
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜
率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

1、直线的点斜式方程:直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为kyy0k(xx0)
2、、直线的斜截式方程:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b)ykxb

1、直线的两点式方程:已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)y-y1/y-
y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中
a0,b0

1、直线的一般式方程:关于x,y的二元一次方程AxByC0(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。


1、给出例题:两直线交点坐标
L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=0
解:解
3x4y20
方程组
2x2y20
得x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)

两点间的距离公式

::.
Ax0By0C
点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为:d
A2B2
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:AxByC10,
C1C2
l2:AxByC20,则l1与l2的距离为d
22
AB
第四章圆与方程

222
1、圆的标准方程:(xa)(yb)r
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(x,y)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法:
00
(1)(xa)2(yb)2>r2,点在圆外(2)(xa)2(yb)2=r2,点在圆上
0000
(3)(xa)2(yb)2<r2,点在圆内
00

22
1、圆的一般方程:xyDxEyF0
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定
了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线l:axbyc0,圆C:x2y2DxEyF0,圆的半径为r,圆心
DE
(,)到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
22
(1)当dr时,直线l与圆C相离;(2)当dr时,直线l与圆C相切;
(3)当dr时,直线l与圆C相交;
:.
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当lr1r2时,圆C1与圆C2相离;(2)当lr1r2时,圆C1与圆C2外切;
(3)当|r1r2|lr1r2时,圆C1与圆C2相交;
(4)当l|r1r2|时,圆C1与圆C2内切;(5)当l|r1r2|时,圆C1与圆C2内含;

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为
代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”

OQy
1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z),x、y、z分别是P、Q、R在x、PM'
y、z轴上的坐标
x
2、有序实数组(x,y,z),对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系
中的坐标,记M(x,y,z),x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,
z叫做点M的竖坐标。z

P2
1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式
P1
O
222
PP(xx)(yy)(zz)M2HN2y
12121212MM
1
N1N
第二章统计x

x1x2xn
1、本均值:x
n:.
(xx)2(xx)2(xx)2
2、.样本标准差:ss212n
n
,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标
准差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。
4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变
(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍
(3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间(x3s,x3s)的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理

1、概念:
(1)回归直线方程
(2)回归系数


(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)
进行估计,即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如
已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空
气中NO2的浓度。

(1)做回归分析要有实际意义;
(2)回归分析前,最好先作出散点图;
(3)回归直线不要外延。
第三章概率
—
1、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;:.
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出
nA
现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常
数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
nA
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n,
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A与B为对立事件,则
A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—
P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,
其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;
(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两
种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。:.
—
1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=总的基本事件个数
—
1、基本概念:
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则
称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积);
(1)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.
第二章平面向量
16、向量:既有大小,:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、:长度为0的向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
平行向量(共线向量):.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:ababab.

⑷运算性质:①交换律:abba;

②结合律:abcabc;③a00a

⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.
a
18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,
A

abACAC:.

⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

设A、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则Ax1x2,y1y2.
19、向量数乘运算:

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.

①aa;

②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,

a0.

⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.

⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.

20、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.

设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、

bb0共线.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量

a,有且只有一对实数1、2,使a1e12e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向
量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,当
xxyy
时,点的坐标是12,12.(当1时,就为中点公式。)
12
11
23、平面向量的数量积:

⑴ababcosa0,b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;当
22
a与b反向时,abab;aaaa或aaa.③abab.

⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.
22222
若ax,y,则axy,或axx1,y1,bx2,y2,则:.

abx1x2y1y20.

设a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a与b的夹角,则

abx1x2y1y2
cos.
ab2222
x1y1x2y2
高中数学必修5知识点
(一)解三角形:
1、正弦定理:在AC中,a、b、c分别为角A、、C的对边,,则有
abc
2R
sinAsinsinC
(R为AC的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式:①a2RsinA,b2Rsin,c2RsinC;
abc
②sinA,sin,sinC;③a:b:csinA:sin:sinC;
2R2R2R
3、三角形面积公式:111.
SACbcsinAabsinCacsin
222
222b2c2a2
4、余弦定理:在AC中,有abc2bccosA,推论:cosA
2bc
3、一元二次不等式解法:
2
(1)化成标准式:axbxc0,(a0);(2)求出对应的一元二次方程的根;
(3)画出对应的二次函数的图象;(4)根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题:
、目标函数、可行域、可行解、最优解
:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
:
(1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:
移与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值;(4)验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
22
①zaxby-----直线的截距;②z(xa)(yb)-----两点的距离或圆的半径;
ab
4、均值定理:若a0,b0,则ab2ab,即ab.
2
ab2
aba0,b0;

2
ab
称为正数a、b的算术平均数,ab称为正数a、b的几何平均数.
2
5、均值定理的应用:设x、y都为正数,则有
2
s
⑴若xys(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值.
4:.
⑵若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2p.
注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
选修1-1,1-2知识点
第一部分简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题::判断为假的语句.
2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.
3、原命题:“若p,则q”逆命题:“若q,则p”
否命题:“若p,则q”逆否命题:“若q,则p”
4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
5、若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
若pq,则p是q的充要条件(充分必要条件).
利用集合间的包含关系:例如:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条
件;若A=B,则A是B的充要条件;
6、逻辑联结词:⑴且(and):命题形式pq;⑵或(or):命题形式pq;
⑶非(not):命题形式p.
pqpqpqp
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“”表示;
全称命题p:xM,p(x);全称命题p的否定p:xM,p(x)。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“”表示;
特称命题p:xM,p(x);特称命题p的否定p:xM,p(x);
第四部分复数
:
(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0;
(2)z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
(3)z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+z=0(z≠0)z2<0;
(4)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:
(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;
(2)=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(abi)(cdi)acbdbcad
(3)z1÷z2=2222i(z2≠0);
(cdi)(cdi)cdcd:.
:
(1)2;⑷1i1i
(1i)2ii;i;
1i1i
(2)i性质:T=4;i