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数字控制系统的稳定性
数字控制系统的稳态误差
数字控制系统的动态性能
复变量z和s的关系为
而
则
①当σ=0时,s=jω,则
②当σ<0时,则
③当σ>0时,则
s平面
z平面
结论:S平面的稳定区域在Z平面上的映射是单位圆内部区域
D*(s)
H(s)
G(s)
可得闭环采样系统的特征方程为
闭环采样系统稳定的充要条件:特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内,或者所有根的模小于1,即
解
特征方程的根
例试分析特征方程为Z2-Z+=0的系统的稳定性.
系统是稳定的
Z平面和s平面的映射关系:
推广的劳斯稳定判据:在线性采样系统中,对z的有理多项式,经z=(w+1)/(w-1)的双线性变换(W变换),得到w的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的劳斯判据,称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。
设复变量
则有
w平面
z平面
相应的闭环特征方程为
可得
当T=1s时,系统的特征方程为
这两个极点都在单位圆内,所以系统稳定
解得两个极点为
当T=4s时,系统的特征方程为
有一个极点在单位圆外,所以系统不稳定
解得两个极点为
解
开环脉冲传递函数为
例7-11设采样系统如图所示,采样周期T=,求能使系统稳定的K值范围。
相应的闭环特征方程为
可得
把z=(w+1)/(w-1),T=
整理后得
劳斯表为
设离散系统n阶闭环特征方程可以写为:
稳态误差是衡量系统控制精度的,是控制系统的稳态性能指标。
实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同,其稳态输出量不可能完全与输入量一致,也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点。
另外,系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。因此,控制系统的稳态误差总是不可避免的。
在设计控制系统时应尽可能减小稳态误差。当稳态误差足够小,可以忽略不计的时候,可以认为系统的稳态误差为零,这种系统称为无差系统,而稳态误差不为零的系统则称为有差系统。
应当强调的是,只有当系统稳定时,才可以分析系统的稳态误差。对于不稳定的系统,根本不存在研究稳态误差的可能性。